Pourquoi la trace est-elle brisée, alors que le graphe de ⟨r²⟩ rejoint une droite ?

Un seul chemin est imprévisible : chaque pas est aléatoire. La grandeur ⟨r²⟩ est une statistique. La tendance linéaire vient de l’indépendance des pas et de la loi des grands nombres : le comportement moyen est prévisible, même si une trajectoire particulière ne l’est pas.

Est-ce ainsi que se déplace le pollen dans l’eau ?

C’est un modèle simplifié du mouvement brownien. La particule est poussée par les molécules du fluide. La croissance linéaire de ⟨r²⟩ avec le temps est la statistique par laquelle Einstein, en 1905, a lié la diffusion à l’atomisme.

Qu’est-ce que la « moyenne courante » ⟨r²⟩ ?

La moyenne de r² jusqu’au pas N pour le marcheur observé. À petit N le graphe est bruité ; à grand N il rejoint une droite du type N L². La prévisibilité croît avec le volume de données.

Qu’est-ce que le modèle ne décrit pas ?

Une longueur de pas variable, des temps d’attente, une force extérieure (marche biaisée) et la diffusion anormale, où ⟨r²⟩ ∝ N^α avec α ≠ 1. Ici le pas est fixe et indépendant.

Marche aléatoire

Pas sur une droite ou dans le plan : trajectoire et moyenne cumulée ⟨r²⟩ comme schéma de la diffusion.

À propos du modèle

La marche aléatoire : chaque pas est indépendant (sur la droite — à gauche ou à droite, dans le plan — un angle aléatoire). La longueur du pas est fixe. Le déplacement quadratique moyen ⟨r²⟩ croît linéairement avec le nombre de pas N : pour une marche non biaisée, ⟨r²⟩ ∝ N — signature de la diffusion ordinaire (fickienne). À l’écran : une trajectoire et la moyenne courante de r² ; à grand N, la moyenne rejoint une droite, sur le bruit d’un seul chemin. Pas de force extérieure, longueur de pas constante, pas de mémoire. C’est un schéma discret du mouvement brownien, non une trajectoire de diffusion lisse.

Public : Probabilités et physique moléculaire : marche aléatoire, diffusion, ⟨r²⟩ ∝ t.

Notions clés

marche aléatoire
déplacement quadratique moyen
diffusion
mouvement brownien
processus de Markov
loi des grands nombres

Comment ça marche

Chaque pas est indépendant : sur la droite, un tirage de signe ; dans le plan, un angle uniforme. La moyenne cumulée ⟨r²⟩, à grand N, croît linéairement avec le nombre de pas — analogue discret de la loi de diffusion. À l’écran, la trace du marcheur et le graphe de ⟨r²⟩.

Questions fréquentes

Pourquoi la trace est-elle brisée, alors que le graphe de ⟨r²⟩ rejoint une droite ?: Un seul chemin est imprévisible : chaque pas est aléatoire. La grandeur ⟨r²⟩ est une statistique. La tendance linéaire vient de l’indépendance des pas et de la loi des grands nombres : le comportement moyen est prévisible, même si une trajectoire particulière ne l’est pas.
Est-ce ainsi que se déplace le pollen dans l’eau ?: C’est un modèle simplifié du mouvement brownien. La particule est poussée par les molécules du fluide. La croissance linéaire de ⟨r²⟩ avec le temps est la statistique par laquelle Einstein, en 1905, a lié la diffusion à l’atomisme.
Qu’est-ce que la « moyenne courante » ⟨r²⟩ ?: La moyenne de r² jusqu’au pas N pour le marcheur observé. À petit N le graphe est bruité ; à grand N il rejoint une droite du type N L². La prévisibilité croît avec le volume de données.
Qu’est-ce que le modèle ne décrit pas ?: Une longueur de pas variable, des temps d’attente, une force extérieure (marche biaisée) et la diffusion anormale, où ⟨r²⟩ ∝ N^α avec α ≠ 1. Ici le pas est fixe et indépendant.

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