¿Por qué la punteada es la recta y = t, y no 2t o 6t?

Cada paso a un vecino más cercano tiene longitud euclidiana unidad, así que en promedio un paso suma 1 a ||S||² en la caminata simétrica en Z^d con esta normalización. Si se duplica la longitud del paso, la curva y la identidad se reescalan a la vez.

¿Qué significa la estimación de la probabilidad de retorno con un umbral finito τ_max?

Cada ensayo termina en el instante del primer retorno τ o tras τ_max pasos sin volver. La fracción que se muestra es la de retornos antes de la censura. En tres dimensiones, para acercarse a la probabilidad verdadera de retorno suelen hacer falta τ_max enormes, así que el valor se lee como estimación a horizonte finito.

¿En qué se diferencia de la página «Caminata aleatoria»?

Allí el énfasis está en la recta y el plano con ángulo aleatorio, y en un solo rastro. Aquí hay red entera, media del ensamble ⟨r²⟩, histograma y primer retorno: recurrencia en el plano frente a transitoriedad en tres dimensiones.

Caminata en una red 2D / 3D

Vecinos más cercanos en Z² o Z³: media del ensamble ⟨r²⟩ con la recta de referencia y = t, histograma de r² y estimación del primer retorno (recurrencia y transitoriedad).

Sobre el modelo

Caminata aleatoria simple y simétrica en la red entera Z^d: el paso es hacia un vecino más cercano (4 direcciones en Z², 6 en Z³) y de longitud unidad. Un ensamble de caminantes independientes parte del origen; la media muestral de r² = x² + y² (+ z²) sigue la identidad E[r²] = t. En la gráfica ⟨r²⟩(t) va la recta y = t. El histograma de r² muestra la dispersión alrededor de la media. Por separado, Monte Carlo estima el primer retorno al origen: el instante τ de la primera visita a 0 con t > 0. En el plano la caminata es recurrente (regresa casi seguro); en tres dimensiones es transitoria: la probabilidad de no volver es positiva. Es el lado visible del teorema de Pólya.

Para quién: Probabilidad y física estadística: caminata en una red, desplazamiento cuadrático medio, recurrencia de Pólya.

Conceptos clave

caminata aleatoria simple
red Z^d
desplazamiento cuadrático medio
tiempo de primer retorno
recurrencia de Pólya
transitoriedad

Cómo funciona

Z² o Z³, paso a un vecino más cercano: ensamble de caminantes, media ⟨r²⟩ en el tiempo con y = t, histograma de r², aparte Monte Carlo del primer retorno con umbral τ_max; comparación de la recurrencia 2D y la transitoriedad 3D.

Fórmulas principales

⟨S_t⟩ = 0, unit NN step: E[||S_t||²] = t; first return τ = inf{t>0 : S_t=0} (2D recurrent a.s., 3D finite prob per infinitely long walk).

Preguntas frecuentes

¿Por qué la punteada es la recta y = t, y no 2t o 6t?: Cada paso a un vecino más cercano tiene longitud euclidiana unidad, así que en promedio un paso suma 1 a ||S||² en la caminata simétrica en Z^d con esta normalización. Si se duplica la longitud del paso, la curva y la identidad se reescalan a la vez.
¿Qué significa la estimación de la probabilidad de retorno con un umbral finito τ_max?: Cada ensayo termina en el instante del primer retorno τ o tras τ_max pasos sin volver. La fracción que se muestra es la de retornos antes de la censura. En tres dimensiones, para acercarse a la probabilidad verdadera de retorno suelen hacer falta τ_max enormes, así que el valor se lee como estimación a horizonte finito.
¿En qué se diferencia de la página «Caminata aleatoria»?: Allí el énfasis está en la recta y el plano con ángulo aleatorio, y en un solo rastro. Aquí hay red entera, media del ensamble ⟨r²⟩, histograma y primer retorno: recurrencia en el plano frente a transitoriedad en tres dimensiones.

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