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Inicio/Visualización matemática/Retrato de fase (EDO 2D)

Retrato de fase (EDO 2D)

Campo de direcciones y trayectorias al hacer clic: armónico, amortiguamiento, silla, nodos, focos, péndulo (RK4).

Plano de fase

Haga clic o toque el área de la gráfica: la solución se construye hacia adelante y hacia atrás en el tiempo (RK4). R borra todas las trayectorias.

1

Armónico: x′=y, y′=−ω²x. El amortiguamiento añade −2ζωy. Silla: x′=x, y′=−y. Nodo estable: x′=−x, y′=−y; inestable: x′=x, y′=y. Los focos son espirales lineales fijas. Péndulo: x=θ, y=ω, con ω′=−sin θ.

Atajos de teclado

  • •R — borrar todas las trayectorias

Magnitudes medidas

CasoArmónico
Trayectorias0

Sobre el modelo

El retrato de fase de un sistema autónomo plano muestra el estado (x, y) sin eje de tiempo: hacia dónde apunta el campo (f, g) en x′ = f(x, y), y′ = g(x, y). La malla de flechas cortas es el campo de direcciones; la longitud está normalizada para leer la dirección, no el módulo. Un clic fija el punto inicial; el método de Runge–Kutta de orden 4 integra hacia adelante y hacia atrás hasta que la trayectoria sale de la ventana. Casos: oscilador armónico sin amortiguamiento (centro, curvas cerradas), oscilador lineal amortiguado (ζ fija la espiral hacia un foco estable), silla, nodos estable e inestable, focos estable e inestable, péndulo ideal θ′ = ω, ω′ = −sin θ (x es el ángulo, y la velocidad angular). Los equilibrios van con puntos amarillos. No hay bifurcaciones, nulclinas ni búsqueda de ciclos límite: es el cuadro cualitativo en el plano.

Para quién: Curso de EDO y sistemas dinámicos: equilibrios, linealización y análisis cualitativo antes de las gráficas x(t).

Conceptos clave

  • plano de fase
  • sistema autónomo
  • campo de direcciones
  • trayectoria
  • equilibrio
  • silla
  • foco
  • centro

Cómo funciona

Plano (x, y) para el sistema autónomo x′ = f(x, y), y′ = g(x, y): la malla de flechas es el campo de direcciones; un clic lanza RK4 hacia adelante y hacia atrás desde el punto elegido. Casos: armónico, amortiguamiento (ζ), silla, nodos, focos, péndulo θ′ = ω, ω′ = −sin θ. En el péndulo los ejes llevan θ y ω. Los puntos amarillos son equilibrios; R borra todas las trayectorias.

Fórmulas principales

x′ = f(x, y), y′ = g(x, y)
Armónico: x′ = y, y′ = −ω²x
Péndulo: θ′ = ω, ω′ = −sin θ

Preguntas frecuentes

¿Por qué la trayectoria se corta en el borde de la ventana?
La integración se detiene cuando el estado sale de un marco un poco más amplio que los ejes visibles. Así no se van al infinito los cálculos a lo largo de las variedades inestables de la silla.
¿Por qué con ζ = 0 el caso «amortiguamiento» se parece a un centro?
Con ζ nulo la parte lineal coincide con el oscilador armónico sin amortiguamiento (escala ω). Cualquier ζ > 0 pequeño rompe las órbitas cerradas y da una espiral hacia el origen.
¿Qué significan los puntos amarillos?
Posiciones de equilibrio, donde f = g = 0. El origen se marca en los casos lineales; en el péndulo, además, los ángulos ±π, donde sin θ = 0.
¿Por qué se integra hacia adelante y hacia atrás desde el clic?
Para ver de una vez toda la órbita: el pasado y el futuro. En un centro resulta una curva cerrada; en una silla, ramas que se van en sentidos distintos.