Почему траектория обрывается у края окна?

Интегрирование останавливается, когда состояние выходит за слегка расширенную рамку вокруг видимых осей. Так не уходят в бесконечность расчёты вдоль неустойчивых многообразий седла и симулятор остаётся отзывчивым.

Почему при ζ = 0 пресет «затухание» похож на центр?

При нулевом ζ линейная часть совпадает с незатухающим гармоническим осциллятором (с общим масштабом ω). Любое малым ζ > 0 разрушает замкнутые орбиты и даёт спираль к началу координат.

Что означают жёлтые точки?

Это положения равновесия, где f = g = 0 в рамках модели. Начало координат отмечено для линейных пресетов; для маятника дополнительно отмечены углы ±π, где sin θ = 0.

Это замена полноценному решателю ОДУ?

Нет. Фиксированное окно, фиксированный шаг РК4 без контроля ошибки, без автоматического вывода собственных чисел и фаз. Для публикаций и обзоров по параметру нужны специализированные средства.

Фазовый портрет (2D ОДУ)

Поле направлений и траектории по клику: гармоника, затухание, седло, узлы, фокусы, маятник (РК4).

Фазовая плоскость

Щёлкните или коснитесь области графика — решение строится вперёд и назад по времени (РК4). R очищает все траектории.

Круговая частота ω (масштаб гармоники / затухания)1

Показывать поле направлений

Гармоника: x′=y, y′=−ω²x. Затухание добавляет −2ζωy. Седло: x′=x, y′=−y. Устойчивый узел: x′=−x, y′=−y; неустойчивый: x′=x, y′=y. Фокусы — фиксированные линейные спирали. Маятник: x=θ, y=ω, при этом ω′=−sin θ.

Горячие клавиши

R — очистить все траектории

Измеренные величины

ПресетГармоника

Траекторий0

О модели

Фазовый портрет плоской автономной системы ОДУ показывает состояние (x, y) без явной оси времени: видно, «куда течёт» векторное поле (f, g) при x′ = f(x, y), y′ = g(x, y). Симулятор рисует сетку коротких стрелок с направлением потока (длина нормирована для читаемости). Щелчок внутри области задаёт начальную точку; метод Рунге–Кутты 4-го порядка интегрирует уравнение вперёд и назад, пока траектория не выйдет за расширенное окно просмотра. Пресеты: незатухающий гармонический осциллятор (центр, замкнутые кривые), линейный осциллятор с затуханием (параметр ζ задаёт спираль к устойчивому фокусу), седло, устойчивый и неустойчивый узлы, устойчивый и неустойчивый фокусы из фиксированных линеаризаций, и идеальный маятник в виде θ′ = ω, ω′ = −sin θ (здесь x — угол, y — угловая скорость). Равновесия отмечены жёлтыми точками. Это учебный эскиз: без бифуркаций, нульклин и поиска предельных циклов — только качественная картина в плоскости.

Для кого: Студенты курсов ОДУ и динамических систем, осваивающие равновесия, линеаризацию и качественный анализ до количественных графиков x(t).

Ключевые понятия

Фазовая плоскость
Автономная ОДУ
Поле направлений
Траектория
Равновесие
Седло
Фокус
Центр
Рунге–Кутта

Как это работает

Плоскость (x, y) для автономной системы x′ = f(x, y), y′ = g(x, y): сетка стрелок — поле направлений; щелчок или касание запускает РК4 вперёд и назад от выбранной точки. Пресеты: гармоника, затухание (ζ), седло, узлы, фокусы, маятник θ′ = ω, ω′ = −sin θ. На пресете маятника на осях подписи θ и ω. Жёлтые точки — равновесия; R очищает все траектории.

Основные формулы

x′ = f(x, y), y′ = g(x, y)

Гармоника: x′ = y, y′ = −ω²x

Маятник: θ′ = ω, ω′ = −sin θ

Часто задаваемые вопросы

Почему траектория обрывается у края окна?: Интегрирование останавливается, когда состояние выходит за слегка расширенную рамку вокруг видимых осей. Так не уходят в бесконечность расчёты вдоль неустойчивых многообразий седла и симулятор остаётся отзывчивым.
Почему при ζ = 0 пресет «затухание» похож на центр?: При нулевом ζ линейная часть совпадает с незатухающим гармоническим осциллятором (с общим масштабом ω). Любое малым ζ > 0 разрушает замкнутые орбиты и даёт спираль к началу координат.
Что означают жёлтые точки?: Это положения равновесия, где f = g = 0 в рамках модели. Начало координат отмечено для линейных пресетов; для маятника дополнительно отмечены углы ±π, где sin θ = 0.
Это замена полноценному решателю ОДУ?: Нет. Фиксированное окно, фиксированный шаг РК4 без контроля ошибки, без автоматического вывода собственных чисел и фаз. Для публикаций и обзоров по параметру нужны специализированные средства.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Эйлер и РК4 (Маятник)

Запустить симулятор

Одно и то же нелинейное уравнение маятника и шаг h; прямое сравнение методов Эйлера и РК4.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

N′ = αN−βNP, P′ = δNP−γP; фазовая плоскость RK4; точка равновесия.

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеУниверситет / научные