Почему траектория обрывается у края окна?

Интегрирование останавливается, когда состояние выходит за слегка расширенную рамку вокруг видимых осей. Так не уходят в бесконечность расчёты вдоль неустойчивых многообразий седла.

Почему при ζ = 0 заготовка «затухание» похожа на центр?

При нулевом ζ линейная часть совпадает с незатухающим гармоническим осциллятором (масштаб ω). Любое малое ζ > 0 разрушает замкнутые орбиты и даёт спираль к началу координат.

Что означают жёлтые точки?

Положения равновесия, где f = g = 0. Начало координат отмечено для линейных заготовок; у маятника дополнительно углы ±π, где sin θ = 0.

Зачем интегрируют и вперёд, и назад от точки щелчка?

Чтобы сразу увидеть всю орбиту: прошлое и будущее. Для центра получается замкнутая кривая; для седла — ветви, уходящие в разные стороны.

Фазовый портрет (2D ОДУ)

Поле направлений и траектории по клику: гармоника, затухание, седло, узлы, фокусы, маятник (РК4).

Фазовая плоскость

Щёлкните или коснитесь области графика — решение строится вперёд и назад по времени (РК4). R очищает все траектории.

Круговая частота ω (масштаб гармоники / затухания)1

Показывать поле направлений

Гармоника: x′=y, y′=−ω²x. Затухание добавляет −2ζωy. Седло: x′=x, y′=−y. Устойчивый узел: x′=−x, y′=−y; неустойчивый: x′=x, y′=y. Фокусы — фиксированные линейные спирали. Маятник: x=θ, y=ω, при этом ω′=−sin θ.

Горячие клавиши

R — очистить все траектории

Измеренные величины

ПресетГармоника

Траекторий0

О модели

Фазовый портрет плоской автономной системы показывает состояние (x, y) без оси времени: куда направлено поле (f, g) при x′ = f(x, y), y′ = g(x, y). Сетка коротких стрелок — поле направлений; длина нормирована, чтобы читалось направление, а не модуль. Щелчок задаёт начальную точку; метод Рунге–Кутты 4-го порядка интегрирует вперёд и назад, пока траектория не выйдет за окно. Заготовки: незатухающий гармонический осциллятор (центр, замкнутые кривые), линейный осциллятор с затуханием (ζ задаёт спираль к устойчивому фокусу), седло, устойчивый и неустойчивый узлы, устойчивый и неустойчивый фокусы, идеальный маятник θ′ = ω, ω′ = −sin θ (x — угол, y — угловая скорость). Равновесия отмечены жёлтыми точками. Бифуркаций, нульклин и поиска предельных циклов нет: качественная картина на плоскости.

Для кого: Курс ОДУ и динамических систем: равновесия, линеаризация и качественный анализ до графиков x(t).

Ключевые понятия

фазовая плоскость
автономная система
поле направлений
траектория
равновесие
седло
фокус
центр

Как это работает

Плоскость (x, y) для автономной системы x′ = f(x, y), y′ = g(x, y): сетка стрелок — поле направлений; щелчок запускает РК4 вперёд и назад от выбранной точки. Заготовки: гармоника, затухание (ζ), седло, узлы, фокусы, маятник θ′ = ω, ω′ = −sin θ. У маятника на осях подписи θ и ω. Жёлтые точки — равновесия; R очищает все траектории.

Основные формулы

x′ = f(x, y), y′ = g(x, y)

Гармоника: x′ = y, y′ = −ω²x

Маятник: θ′ = ω, ω′ = −sin θ

Часто задаваемые вопросы

Почему траектория обрывается у края окна?: Интегрирование останавливается, когда состояние выходит за слегка расширенную рамку вокруг видимых осей. Так не уходят в бесконечность расчёты вдоль неустойчивых многообразий седла.
Почему при ζ = 0 заготовка «затухание» похожа на центр?: При нулевом ζ линейная часть совпадает с незатухающим гармоническим осциллятором (масштаб ω). Любое малое ζ > 0 разрушает замкнутые орбиты и даёт спираль к началу координат.
Что означают жёлтые точки?: Положения равновесия, где f = g = 0. Начало координат отмечено для линейных заготовок; у маятника дополнительно углы ±π, где sin θ = 0.
Зачем интегрируют и вперёд, и назад от точки щелчка?: Чтобы сразу увидеть всю орбиту: прошлое и будущее. Для центра получается замкнутая кривая; для седла — ветви, уходящие в разные стороны.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Эйлер и РК4 (математический маятник)

Запустить симулятор

Одно нелинейное уравнение математического маятника и один шаг h: явный метод Эйлера рядом с методом Рунге–Кутты четвёртого порядка.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

Классическая модель хищник–жертва: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Фазовая плоскость, интегрирование Рунге–Кутты, точка равновесия (γ/δ, α/β).

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеУниверситет / научные

Аттрактор Лоренца

Запустить симулятор

Система Лоренца с параметрами σ, ρ, β: странный аттрактор-«бабочка» в проекции (x, z). Интегрирование методом Рунге–Кутты, чувствительность к начальным данным.

НовоеУниверситет / научные

Частицы в поле течения

Запустить симулятор

Синтетическое поле v(x, y, t); перенос с периодическими границами; по желанию сетка стрелок.

НовоеШкольные

SIR-модель эпидемии

Запустить симулятор

S + I + R = 1: βSI и γI; ℛ₀ ≈ β/γ, порог коллективного иммунитета 1 − 1/ℛ₀; график по времени РК4.

Фазовый портрет (2D ОДУ)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Эйлер и РК4 (математический маятник)

Лотка–Вольтерра

Области устойчивости Рунге–Кутты

Аттрактор Лоренца

Частицы в поле течения

SIR-модель эпидемии

Фазовый портрет (2D ОДУ)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы