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Início/Visualização matemática/Retrato de fase

Retrato de fase

Campo de direções e trajetórias no clique: harmônico, amortecimento, sela, nós, focos, pêndulo (RK4).

Plano de fase

Clique ou toque na área do gráfico — a solução constrói-se para a frente e para trás no tempo (RK4). R apaga todas as trajetórias.

1

Harmônico: x′=y, y′=−ω²x. O amortecimento acrescenta −2ζωy. Sela: x′=x, y′=−y. Nó estável: x′=−x, y′=−y; instável: x′=x, y′=y. Focos — espirais lineares fixas. Pêndulo: x=θ, y=ω, com ω′=−sin θ.

Atalhos de teclado

  • •R — apagar todas as trajetórias

Grandezas medidas

CasoHarmônico
Trajetórias0

Sobre o modelo

O retrato de fase de um sistema autônomo plano mostra o estado (x, y) sem o eixo do tempo: para onde aponta o campo (f, g) em x′ = f(x, y), y′ = g(x, y). A malha de setas curtas é o campo de direções; o comprimento é normalizado para se ler a direção, não o módulo. O clique marca a condição inicial; o método de Runge–Kutta de ordem 4 integra para a frente e para trás até a trajetória sair da janela. Casos: oscilações harmônicas sem amortecimento (centro, curvas fechadas), oscilador linear com amortecimento (ζ fixa a espiral até o foco estável), sela, nós estável e instável, focos estável e instável, pêndulo ideal θ′ = ω, ω′ = −sin θ (x — ângulo, y — velocidade angular). Os equilíbrios são pontos amarelos. Não há bifurcações, nulclinas nem busca de ciclos limite: o quadro qualitativo no plano.

Para quem: EDO e sistemas dinâmicos: equilíbrios, linearização e análise qualitativa antes dos gráficos de x(t).

Conceitos-chave

  • plano de fase
  • sistema autônomo
  • campo de direções
  • trajetória
  • equilíbrio
  • sela
  • foco
  • centro

Como funciona

O plano (x, y) do sistema autônomo x′ = f(x, y), y′ = g(x, y): a malha de setas é o campo de direções; o clique dispara RK4 para a frente e para trás a partir do ponto escolhido. Casos: harmônico, amortecimento (ζ), sela, nós, focos, pêndulo θ′ = ω, ω′ = −sin θ. No pêndulo os eixos levam θ e ω. Pontos amarelos — equilíbrios; R apaga todas as trajetórias.

Fórmulas principais

x′ = f(x, y), y′ = g(x, y)
Harmônico: x′ = y, y′ = −ω²x
Pêndulo: θ′ = ω, ω′ = −sin θ

Perguntas frequentes

Por que a trajetória corta na borda da janela?
A integração para quando o estado sai de uma moldura um pouco maior que os eixos visíveis. Assim o cálculo não foge ao infinito ao longo das variedades instáveis da sela.
Por que, com ζ = 0, o caso «amortecimento» parece um centro?
Com ζ nulo a parte linear coincide com as oscilações harmônicas sem amortecimento (escala ω). Qualquer ζ > 0 pequeno destrói as órbitas fechadas e dá uma espiral até a origem.
O que são os pontos amarelos?
Posições de equilíbrio, onde f = g = 0. A origem está marcada nos casos lineares; no pêndulo entram ainda os ângulos ±π, onde sen θ = 0.
Por que se integra para a frente e para trás a partir do clique?
Para ver de uma vez a órbita inteira: passado e futuro. No centro sai uma curva fechada; na sela, ramos que fogem para lados diferentes.