Dinámica del error en la ecuación de Poisson unidimensional: Jacobi y Gauss–Seidel suavizan las altas frecuencias, y el ciclo V, al restringir el residuo y corregir en la malla gruesa, quita pronto los modos bajos.
Sobre el modelo
La relajación multigrid se aplica al problema de Poisson unidimensional −u″ = f, u(0) = u(1) = 0, con solución exacta conocida formada por un modo seno de baja y otro de alta frecuencia. Al partir de cero, las relajaciones de Jacobi y de Gauss–Seidel apagan pronto el error de alta frecuencia: son suavizadores. El error suave de baja frecuencia que queda en la malla fina decrece despacio. El ciclo V calcula el residuo r = f − Au, lo restringe a mallas más gruesas —donde el error suave se vuelve más oscilatorio y más barato— y luego prolonga la corrección de vuelta. El panel superior muestra el error actual u − u* para Jacobi, Gauss–Seidel y multigrid; el inferior, la historia logarítmica del error L2.
Para quién: Ecuaciones diferenciales parciales numéricas: relajación, suavizadores, corrección por residuo, restricción y prolongación.
Conceptos clave
método multigrid
método de Jacobi
método de Gauss–Seidel
ciclo V
corrección en la malla gruesa
residuo
restricción
prolongación
Cómo funciona
Para el −u″=f en 1D se comparan Jacobi, Gauss–Seidel y el ciclo V multigrid. La relajación suaviza pronto el error de alta frecuencia, pero tarda en quitar la baja frecuencia suave; el multigrid restringe el residuo a la malla gruesa, resuelve la corrección y la prolonga de vuelta.
Fórmulas principales
Solve −u″=f, u(0)=u(1)=0. Relaxation damps oscillatory error; multigrid computes residual r=f−Au, restricts it to coarse grids, solves Ae=r, and prolongs the correction u←u+e.
Preguntas frecuentes
¿Por qué Jacobi y Gauss–Seidel quitan primero las altas frecuencias?
La relajación local actualiza el nodo con los vecinos. Un error oscilatorio da residuos locales grandes y se apaga pronto. El error suave de baja frecuencia es casi coherente en lo local, así que la malla fina lo cambia despacio.
¿Qué hace la malla gruesa?
El error suave en la malla fina se ve menos suave respecto de la gruesa. Resolver ahí la ecuación del residuo da una corrección global barata; la interpolación la devuelve a la malla fina.
¿Es un multigrid industrial?
No. Es un ciclo V geométrico para el operador de Poisson unidimensional. Los paquetes industriales añaden operadores de transferencia cuidadosos, condiciones de frontera, criterios de paro, elección del suavizador y el paso a mallas bidimensionales y tridimensionales complicadas.