Dinâmica do erro na equação de Poisson unidimensional: Jacobi e Gauss–Seidel suavizam as altas frequências, e o ciclo V, por restrição do resíduo e correção na malha grossa, remove depressa os modos baixos.
Sobre o modelo
A relaxação multigrid trata o problema unidimensional de Poisson −u″ = f, com u(0) = u(1) = 0 e solução exata conhecida composta de um modo senoidal de baixa e outro de alta frequência. Partindo do zero, as relaxações de Jacobi e de Gauss–Seidel amortecem depressa o erro de alta frequência — por isso são suavizadores. O erro suave de baixa frequência que resta na malha fina decai lentamente. O ciclo V calcula o resíduo r = f − Au, restringe-o às malhas grossas, onde o erro suave fica mais oscilante e de menor custo, e depois prolonga a correção de volta. O painel de cima mostra o erro atual u − u* para Jacobi, Gauss–Seidel e multigrid; o de baixo, o histórico logarítmico do erro L2.
Para quem: Equações diferenciais parciais numéricas: relaxação, suavizadores, correção pelo resíduo, restrição e prolongamento.
Conceitos-chave
método multigrid
método de Jacobi
método de Gauss–Seidel
ciclo V
correção na malha grossa
resíduo
restrição
prolongamento
Como funciona
Para o problema 1D −u″=f comparam-se Jacobi, Gauss–Seidel e o ciclo V da multigrid. A relaxação suaviza depressa o erro de alta frequência, mas remove devagar a baixa frequência suave; a multigrid restringe o resíduo à malha grossa, resolve a correção e a prolonga de volta.
Fórmulas principais
Solve −u″=f, u(0)=u(1)=0. Relaxation damps oscillatory error; multigrid computes residual r=f−Au, restricts it to coarse grids, solves Ae=r, and prolongs the correction u←u+e.
Perguntas frequentes
Por que Jacobi e Gauss–Seidel primeiro removem as altas frequências?
A relaxação local atualiza o nó a partir dos vizinhos. O erro oscilante gera resíduos locais grandes e é amortecido depressa. O erro suave de baixa frequência fica localmente quase coerente, por isso a malha fina o altera com lentidão.
O que faz a malha grossa?
O erro suave na malha fina fica menos suave em relação à malha grossa. Resolver ali a equação do resíduo dá uma correção global de baixo custo; a interpolação a devolve à malha fina.
Esta é uma multigrid industrial?
Não. É um ciclo V geométrico para o operador de Poisson unidimensional. Os resolvedores industriais acrescentam operadores de transferência cuidadosos, condições de contorno, critérios de parada, escolha do suavizador e a passagem a malhas bidimensionais e tridimensionais complexas.