Qu’est-ce qu’un diagramme de Minkowski ?

C’est le graphe des événements en coordonnées (x, ct). La transformation de Lorentz mélange x et ct : les droites à t′ constant (simultanéité dans S′) et à x′ constant (lignes d’univers des points au repos dans S′) s’inclinent d’un angle arctg(β) vers les droites nulles ct = ±x. Les rayons lumineux restent à 45° dans tout référentiel inertiel. Sur un même diagramme, contraction des longueurs et dilatation du temps deviennent de la géométrie, non une énigme.

Que signifie le signe de l’intervalle Δs² ?

Avec Δs² = (cΔt)² − (Δx)², les valeurs positives sont de genre temps (un ordre causal est possible), zéro de genre lumière, les négatives de genre espace (pas d’influence causale). Les manuels n’ont pas tous la même signature (parfois −+++) ; ici le signe plus est sur la partie temporelle. Ne confondez pas le Δt de coordonnées avec le temps propre le long d’une ligne d’univers.

Deux événements peuvent-ils être simultanés dans un référentiel et pas dans un autre ?

Oui — c’est la relativité de la simultanéité. Les droites horizontales dans S sont les t = const ; dans S′, les tranches de simultanéité sont inclinées. Des événements de même t′ ont en général des temps de laboratoire différents. Le diagramme de Minkowski rend cette inclinaison explicite lorsque l’on change β.

Diagramme de Minkowski

Diagramme (x, ct) : la transformation de Lorentz incline les axes (x′, ct′) vers le cône de lumière ; intervalle Δs² = (cΔt)² − (Δx)².

Transformation de Lorentz

β = v/c (passage de S à S′)0.5

Afficher le cône de lumièreAfficher le réseau S′ (simultanéité / repos dans S′)

Le référentiel du laboratoire S a l’axe x horizontal et l’axe ct vertical. Un passage à S′ à v = βc incline les nouveaux axes d’un angle arctg(β) ; les deux se penchent vers le cône de lumière à 45°, face géométrique de la transformation de Lorentz. Les droites pâles sont les lignes d’univers à x′ constant et les tranches de simultanéité à ct′ constant dans S′ — la relativité de la simultanéité s’y lit d’un coup d’œil. Le segment entre les événements A et B est coloré vert / jaune / rouge selon que l’intervalle (cΔt)² − Δx² est de genre temps, lumière ou espace.

Mesures

γ1.1547

Δs²-4.6500

Δt (S)0.800

Δt' (S′)2.252

À propos du modèle

Le diagramme de Minkowski (x, ct) : la transformation de Lorentz à la vitesse v = βc incline les axes (x′, ct′) vers le cône de lumière à 45° d’un angle arctg(β), de sorte que la relativité de la simultanéité, la dilatation du temps et la contraction des longueurs se lisent comme de la géométrie d’espace-temps. On place des événements avec les touches Maj et Alt ; l’intervalle invariant Δs² = (cΔt)² − (Δx)² classe les paires en genre temps, genre lumière ou genre espace. Unités naturelles (c = 1 sur le graphe). Hypothèses : espace-temps plat 1+1, pas de gravitation, un seul changement de référentiel le long de x. En faisant varier β, on voit l’inclinaison des axes et les intervalles des paires choisies.

Public : Relativité restreinte et physique mathématique de licence : géométrie de l’espace-temps.

Notions clés

diagramme de Minkowski
espace-temps
transformation de Lorentz
intervalle invariant
cône de lumière
relativité de la simultanéité

Comment ça marche

Le diagramme de Minkowski est le plan des événements en coordonnées (x, ct). La transformation de Lorentz incline les axes (x′, ct′) vers le cône de lumière à 45° d’un angle arctg(β). L’intervalle invariant Δs² = (cΔt)² − (Δx)² classe une paire d’événements en genre temps, genre espace ou genre lumière : le signe de l’intervalle est le même dans tous les référentiels inertiels.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un diagramme de Minkowski ?: C’est le graphe des événements en coordonnées (x, ct). La transformation de Lorentz mélange x et ct : les droites à t′ constant (simultanéité dans S′) et à x′ constant (lignes d’univers des points au repos dans S′) s’inclinent d’un angle arctg(β) vers les droites nulles ct = ±x. Les rayons lumineux restent à 45° dans tout référentiel inertiel. Sur un même diagramme, contraction des longueurs et dilatation du temps deviennent de la géométrie, non une énigme.
Que signifie le signe de l’intervalle Δs² ?: Avec Δs² = (cΔt)² − (Δx)², les valeurs positives sont de genre temps (un ordre causal est possible), zéro de genre lumière, les négatives de genre espace (pas d’influence causale). Les manuels n’ont pas tous la même signature (parfois −+++) ; ici le signe plus est sur la partie temporelle. Ne confondez pas le Δt de coordonnées avec le temps propre le long d’une ligne d’univers.
Deux événements peuvent-ils être simultanés dans un référentiel et pas dans un autre ?: Oui — c’est la relativité de la simultanéité. Les droites horizontales dans S sont les t = const ; dans S′, les tranches de simultanéité sont inclinées. Des événements de même t′ ont en général des temps de laboratoire différents. Le diagramme de Minkowski rend cette inclinaison explicite lorsque l’on change β.

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