Por que os eixos do sistema em movimento estão inclinados e são simétricos em relação ao cone de luz?

A simultaneidade é relativa: o eixo x′ é a linha t′ = const e o eixo ct′ é a linha de universo da origem de S′. A transformação de Lorentz inclina os dois eixos em direção ao cone por um ângulo ligado a v. A simetria em relação a x = ±ct segue da invariância da velocidade da luz: os raios dividem ao meio o ângulo entre ct′ e x′.

O que delimita o cone de luz?

A fronteira do vínculo causal do evento no vértice. Dentro do cone futuro os eventos podem ser consequência do vértice; dentro do passado, sua causa. Fora o intervalo é do tipo espaço: nem a luz liga esses eventos ao vértice.

Em que o modelo 1+1 difere do espaço-tempo 3+1?

Os efeitos essenciais são os mesmos: dilatação do tempo, contração do comprimento, relatividade da simultaneidade. Em 3+1 o «cone» de luz é uma superfície tridimensional em quatro dimensões. Aqui omitem-se duas dimensões espaciais para a geometria caber no plano.

γ = 1/√(1 − v²/c²) fixa a magnitude dos efeitos: os relógios em movimento atrasam por um fator γ e os comprimentos ao longo do movimento se contraem em 1/γ. Quando v → c, o fator γ cresce sem limite.

Diagrama de Minkowski

Plano (x, ct): cone de luz x = ±ct e eixos inclinados do sistema em movimento; γ = 1/√(1 − v²/c²).

Sobre o modelo

O diagrama de Minkowski é o plano dos eventos nas coordenadas (x, ct). O cone de luz x = ±ct parte o espaço-tempo: dentro ficam intervalos do tipo tempo (pode haver vínculo causal) e fora, do tipo espaço. Os eixos do sistema em repouso são ortogonais; os do sistema que se move com velocidade v se inclinam em direção ao cone segundo a transformação de Lorentz: x′ = γ(x − vt), ct′ = γ(ct − vx/c), γ = 1/√(1 − v²/c²). A inclinação do eixo ct′ é a linha de universo da origem do sistema em movimento; a do eixo x′ é a linha de simultaneidade nesse sistema. O modelo é 1+1: omitem-se duas dimensões espaciais. Ao mudar v vê-se a relatividade da simultaneidade e o crescimento de γ ao se aproximar de c.

Para quem: Curso de relatividade especial: diagrama de Minkowski, cone de luz, transformação de Lorentz.

Conceitos-chave

diagrama de Minkowski
espaço-tempo
cone de luz
transformação de Lorentz
fator de Lorentz
linha de universo
relatividade da simultaneidade

Como funciona

No plano (x, ct) o cone de luz x = ±ct parte os eventos em tipo tempo e tipo espaço. A transformação de Lorentz inclina os eixos (x′, ct′) em direção ao cone; γ = 1/√(1 − v²/c²) cresce com |v|. A horizontal no sistema em repouso é a simultaneidade; no sistema em movimento, os cortes t′ = const estão inclinados.

Perguntas frequentes

Por que os eixos do sistema em movimento estão inclinados e são simétricos em relação ao cone de luz?: A simultaneidade é relativa: o eixo x′ é a linha t′ = const e o eixo ct′ é a linha de universo da origem de S′. A transformação de Lorentz inclina os dois eixos em direção ao cone por um ângulo ligado a v. A simetria em relação a x = ±ct segue da invariância da velocidade da luz: os raios dividem ao meio o ângulo entre ct′ e x′.
O que delimita o cone de luz?: A fronteira do vínculo causal do evento no vértice. Dentro do cone futuro os eventos podem ser consequência do vértice; dentro do passado, sua causa. Fora o intervalo é do tipo espaço: nem a luz liga esses eventos ao vértice.
Em que o modelo 1+1 difere do espaço-tempo 3+1?: Os efeitos essenciais são os mesmos: dilatação do tempo, contração do comprimento, relatividade da simultaneidade. Em 3+1 o «cone» de luz é uma superfície tridimensional em quatro dimensões. Aqui omitem-se duas dimensões espaciais para a geometria caber no plano.
O que mostra γ?: γ = 1/√(1 − v²/c²) fixa a magnitude dos efeitos: os relógios em movimento atrasam por um fator γ e os comprimentos ao longo do movimento se contraem em 1/γ. Quando v → c, o fator γ cresce sem limite.

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