Pourquoi la part des jours de soleil se stabilise-t-elle ?

Elle converge vers la distribution stationnaire π. Lorsque πP = π, les fractions de temps passées dans les états cessent de changer. La valeur est dictée par P : si l’on augmente la probabilité de pluie après un jour de soleil, la part à long terme du soleil baisse.

Le vrai temps n’a-t-il vraiment pas de mémoire ?

C’est une simplification. Un cyclone réel peut durer plusieurs jours. La chaîne à un pas est une première approximation, et une étape vers les chaînes d’ordre supérieur et les modèles de Markov cachés.

Que représentent les flèches sur le diagramme d’états ?

Les cercles sont les états, les flèches les transitions, le nombre sur une flèche la probabilité conditionnelle. La somme des flèches sortant d’un état vaut 1 ; ce sont les lignes de la matrice P.

La chaîne peut-elle rester coincée pour toujours dans un état ?

Si toutes les probabilités sont strictement entre 0 et 1 — non. Si, par exemple, P(soleil → pluie) = 0, l’état « soleil » devient absorbant, et la stationnarité change.

Chaîne de Markov (météo)

Chaîne à deux états « soleil / pluie » : matrice de transition P, distribution stationnaire π, fréquence empirique et théorie.

À propos du modèle

Une chaîne de Markov à deux états — « soleil » et « pluie ». Le temps de demain ne dépend que de celui d’aujourd’hui : la matrice de transition P donne les probabilités à un pas, notamment P(soleil → pluie). La somme des probabilités sortant de chaque état vaut 1. Une longue suite de jours fournit des fréquences empiriques ; si la chaîne est irréductible et apériodique, ces fréquences convergent vers l’unique distribution stationnaire π, πP = π. Pour une chaîne 2×2 : π_soleil = (1 − P_rr) / (2 − P_ss − P_rr). En faisant varier les probabilités de transition, on compare π théorique et la fréquence cumulée des jours de soleil.

Public : Probabilités et processus aléatoires : chaînes de Markov, distribution stationnaire.

Notions clés

chaîne de Markov
matrice de transition
distribution stationnaire
propriété de Markov
espace d’états
distribution empirique
ergodicité

Comment ça marche

Une chaîne aux états « soleil » et « pluie » fait un pas selon la matrice P. Propriété de Markov : l’état suivant ne dépend que de l’état courant. La distribution stationnaire π vérifie π = πP ; à l’écran on compare π théorique et la part des jours de soleil sur le parcours.

Questions fréquentes

Pourquoi la part des jours de soleil se stabilise-t-elle ?: Elle converge vers la distribution stationnaire π. Lorsque πP = π, les fractions de temps passées dans les états cessent de changer. La valeur est dictée par P : si l’on augmente la probabilité de pluie après un jour de soleil, la part à long terme du soleil baisse.
Le vrai temps n’a-t-il vraiment pas de mémoire ?: C’est une simplification. Un cyclone réel peut durer plusieurs jours. La chaîne à un pas est une première approximation, et une étape vers les chaînes d’ordre supérieur et les modèles de Markov cachés.
Que représentent les flèches sur le diagramme d’états ?: Les cercles sont les états, les flèches les transitions, le nombre sur une flèche la probabilité conditionnelle. La somme des flèches sortant d’un état vaut 1 ; ce sont les lignes de la matrice P.
La chaîne peut-elle rester coincée pour toujours dans un état ?: Si toutes les probabilités sont strictement entre 0 et 1 — non. Si, par exemple, P(soleil → pluie) = 0, l’état « soleil » devient absorbant, et la stationnarité change.

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