Pourquoi l’état est-il à quatre dimensions ?

Le filtre porte x, y et les vitesses vₓ, vᵧ. Même si le capteur ne donne que des coordonnées, la vitesse se reconstruit par la dynamique à vitesse constante et le pas de mise à jour de Kalman.

Que se passe-t-il si R est beaucoup plus petit que Q ?

Le filtre fait confiance aux mesures et l’estimée se colle aux points bruités : l’ellipse se resserre, mais la trajectoire tremble. Un grand R donne une trace plus lisse, mais en retard.

Filtre de Kalman : poursuite en 2D

Filtre à quatre dimensions, à vitesse constante : mesures bruitées (x,y), bruit d’accélération de processus Q, variance des mesures R et ellipse de covariance ≈2σ en direct.

À propos du modèle

Le filtre de Kalman en poursuite 2D estime la position et la vitesse dans le plan à partir de mesures bruitées (x, y). Le modèle à vitesse constante donne un état à quatre dimensions ; le bruit de processus est une accélération blanche, de sorte que la matrice discrète Q couple l’incertitude de coordonnée et de vitesse. L’ellipse ambre est le contour ≈2σ du bloc de position de la covariance P. Comparer l’EQM de l’estimée à celle des points bruts montre comment Q et R changent le retard contre le tremblement. La vérité peut aller en cercle, en figure de Lissajous, en diagonale ou en marche aléatoire.

Public : Estimation, robotique, automatique : filtre de Kalman et poursuite d’une cible.

Notions clés

filtre de Kalman
poursuite en 2D
ellipse de covariance
bruit de processus Q
bruit de mesure R
modèle à vitesse constante

Comment ça marche

Le filtre de Kalman estime l’état [x, y, vₓ, vᵧ] à partir de mesures de position bruitées. Prédiction : x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q, où Q modélise une accélération blanche. Correction : K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹ rapproche l’estimée de la mesure z. L’ellipse ambre est le contour ≈2σ du bloc de position de P ; comparer l’EQM de l’estimée et des mesures montre le compromis retard contre tremblement selon Q et R.

Formules

x = [x, y, vₓ, vᵧ]ᵀ · F à vitesse constante · z = [x, y]ᵀ + v

Prédiction : x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q

Mise à jour : K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹, x̂ = x̂⁻ + K(z − H x̂⁻)

Questions fréquentes

Pourquoi l’état est-il à quatre dimensions ?: Le filtre porte x, y et les vitesses vₓ, vᵧ. Même si le capteur ne donne que des coordonnées, la vitesse se reconstruit par la dynamique à vitesse constante et le pas de mise à jour de Kalman.
Que se passe-t-il si R est beaucoup plus petit que Q ?: Le filtre fait confiance aux mesures et l’estimée se colle aux points bruités : l’ellipse se resserre, mais la trajectoire tremble. Un grand R donne une trace plus lisse, mais en retard.

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