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Inicio/Visualización matemática/Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Mandelbrot

Aumento profundo del conjunto de Mandelbrot: arrastre y rueda del ratón, coloreado continuo y sitios clásicos.

Parámetros

220

Sitios clásicos

Atajos de teclado

  • •Arrastrar para desplazar
  • •Rueda del ratón para aumentar (bajo el cursor)
  • •R — restablecer la vista

Magnitudes medidas

centro Re-5.0000e-1
centro Im0.0000e+0
ancho de la vista2.600e+0
factor de aumento1.00e+0×
máximo de iteraciones220

Sobre el modelo

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de parámetros complejos c para los cuales la iteración z_{n+1} = z_n² + c con z₀ = 0 permanece acotada. El mapa se construye por tiempo de escape: el píxel se colorea según el número de iteraciones hasta salir del radio de escape, con suavizado fraccionario para que no haya bandas del contador entero. El arrastre y la rueda del ratón cambian el rectángulo de vista; hay sitios clásicos hacia copias en miniatura del conjunto y filamentos. El modelo es el mapa cuadrático clásico, no una familia de potencias mayores ni un conjunto de Julia; el tope finito de iteraciones solo aproxima el conjunto verdadero. A escalas pequeñas se ve la autosemejanza; la precisión de la aritmética real y el tope de iteraciones acaban limitando el cálculo ingenuo.

Para quién: Dinámica compleja y gráficos por computadora: iteraciones z² + c, fractales.

Conceptos clave

  • conjunto de Mandelbrot
  • tiempo de escape
  • iteración compleja
  • fractal
  • coloreado continuo
  • mapa cuadrático

Cómo funciona

El conjunto de Mandelbrot son los c para los que la órbita z_{n+1}=z_n²+c, z₀=0, permanece acotada. Cada píxel del plano complejo es un c; el color es el tiempo de escape (número de iteraciones hasta |z|>R) con suavizado fraccionario. Las zonas negras no escaparon en el tope dado. El arrastre y la rueda cambian la ventana de vista; en un aumento profundo se ven copias en miniatura del conjunto y filamentos.

Fórmulas principales

zₙ₊₁ = zₙ² + c, z₀ = 0
M = { c ∈ ℂ : supₙ |zₙ| < ∞ }
μ = n + 1 − log₂ log₂ |zₙ| (smooth iter)

Preguntas frecuentes

¿Por qué los colores dependen del número de iteraciones?
Los píxeles cuya órbita escapa antes se colorean distinto de los que se quedan más tiempo cerca del conjunto. El coloreado suave interpola el radio de escape y reduce las bandas del contador entero de iteraciones.
¿Un aumento infinito abre siempre estructura nueva?
En lo local el conjunto es autosemejante: copias miniatura del conjunto de Mandelbrot y adornos filamentosos se repiten en todas las escalas. En la práctica la precisión de punto flotante y el tope de iteraciones acaban deteniendo el cálculo ingenuo.
¿El interior negro es exactamente el conjunto de Mandelbrot?
En la práctica el negro marca puntos que no escaparon en el número de iteraciones dado. Algunos puntos exteriores que escapan muy despacio pueden clasificarse mal hasta que se sube el tope.