Sistema de Lorenz con parámetros σ, ρ, β: atractor extraño en forma de mariposa en la proyección (x, z). Integración de Runge–Kutta y sensibilidad a las condiciones iniciales.
Sobre el modelo
El atractor de Lorenz es el conjunto límite de las trayectorias del sistema autónomo dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz, nacido de un recorte fuerte de un modelo de convección. Con los σ, ρ, β clásicos la órbita se enrolla en un atractor extraño de dos alas: el movimiento es acotado, pero condiciones iniciales cercanas se separan de forma exponencial. El flujo es disipativo: el volumen en el espacio de fases se contrae; es otra clase, distinta del caos hamiltoniano, que conserva el volumen. En pantalla está la proyección (x, z) de la traza de Runge–Kutta. No hay ruido estocástico; un paso demasiado grande deforma la «mariposa» por un artefacto numérico. El pronóstico a largo plazo con estas ecuaciones lo limita el exponente de Lyapunov, no la falta de datos.
Para quién: Dinámica no lineal: atractor extraño, caos, flujo disipativo.
Conceptos clave
atractor de Lorenz
sistema de Lorenz
atractor extraño
sensibilidad a las condiciones iniciales
flujo disipativo
exponente de Lyapunov
efecto mariposa
EDO no lineal
Cómo funciona
Sistema de Lorenz: dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz. Con los parámetros clásicos las trayectorias se enrollan en un atractor extraño; arranques cercanos se separan. En pantalla está la proyección (x, z) de la traza de Runge–Kutta. Un paso grande deforma las alas.
Preguntas frecuentes
¿Es un modelo del tiempo atmosférico?
Solo una caricatura de la convección: los modelos reales de la atmósfera son de dimensión enorme. Aquí se trajo la idea de la sensibilidad a las condiciones iniciales, no las ecuaciones concretas del pronóstico.
¿Por qué las trayectorias no se van al infinito?
Los términos no lineales acotan el crecimiento y la disipación contrae el volumen. El atractor se queda en una región compacta del espacio de fases.
¿Es el mismo caos que en los sistemas hamiltonianos?
No: allá el volumen en el espacio de fases se conserva. En Lorenz el volumen se contrae: es un atractor extraño disipativo, otra clase.
¿Basta el método de Euler explícito?
En corridas largas, por lo general no. Hacen falta esquemas de orden alto y control del paso; si no, las alas de la «mariposa» se deforman por un artefacto numérico.