Sistema de Lorenz com parâmetros σ, ρ, β: atrator estranho em forma de borboleta na projeção (x, z). Integração de Runge–Kutta e sensibilidade às condições iniciais.
Sobre o modelo
O atrator de Lorenz é o conjunto-limite das trajetórias do sistema autônomo dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz, nascido de um modelo de convecção fortemente truncado. Com os σ, ρ, β clássicos a órbita se enrola num atrator estranho de duas asas: o movimento é limitado, mas condições iniciais próximas se separam de forma exponencial. O fluxo é dissipativo: o volume no espaço de fases se contrai; é outra classe, distinta do caos hamiltoniano, que conserva o volume. Na tela está a projeção (x, z) do rastro de Runge–Kutta. Não há ruído estocástico; um passo grande demais deforma a «borboleta» por um artefato numérico. A previsão a longo prazo com essas equações é limitada pelo expoente de Lyapunov, não pela falta de dados.
Para quem: Dinâmica não linear: atrator estranho, caos, fluxo dissipativo.
Conceitos-chave
atrator de Lorenz
sistema de Lorenz
atrator estranho
sensibilidade às condições iniciais
fluxo dissipativo
expoente de Lyapunov
efeito borboleta
EDO não linear
Como funciona
Sistema de Lorenz: dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz. Com os parâmetros clássicos as trajetórias se enrolam num atrator estranho; inícios próximos se separam. Na tela está a projeção (x, z) do rastro de Runge–Kutta. Um passo grande deforma as asas.
Perguntas frequentes
Isso é um modelo do tempo atmosférico?
Só uma caricatura da convecção: os modelos reais da atmosfera têm dimensão enorme. O que veio para cá é a ideia da sensibilidade às condições iniciais, não as equações concretas da previsão.
Por que as trajetórias não vão ao infinito?
Os termos não lineares limitam o crescimento e a dissipação contrai o volume. O atrator fica numa região compacta do espaço de fases.
É o mesmo caos que nos sistemas hamiltonianos?
Não: lá o volume no espaço de fases se conserva. Em Lorenz o volume se contrai — é um atrator estranho dissipativo, outra classe.
O método de Euler explícito basta?
Em corridas longas, em geral não. Fazem falta esquemas de ordem alta e controle do passo; senão, as asas da «borboleta» se deformam por um artefato numérico.