Pourquoi la méthode de Boltzmann sur réseau utilise-t-elle des fonctions de distribution, et non la vitesse directement ?

Le schéma fait évoluer les fonctions de distribution selon les directions discrètes du réseau. La masse volumique et la vitesse macroscopiques sont des moments de ces fonctions : le transport est donc local, et les parois s’imposent aisément par réflexion.

Que contrôle le temps de relaxation τ ?

Pour D2Q9 avec BGK, la viscosité en unités de réseau vaut ν = (τ − 1/2)/3. Un τ trop proche de 0,5 signifie une viscosité très faible et peut rendre le schéma numériquement instable.

En quoi la cavité à couvercle diffère-t-elle de l’écoulement autour d’un cylindre ?

Dans la cavité, la paroi supérieure impose un cisaillement et des tourbillons se forment à l’intérieur. Autour du cylindre, on voit le sillage et le décollement quand le nombre de Reynolds croît. Dans les deux cas, la couleur est la vorticité.

Méthode de Boltzmann sur réseau (D2Q9)

Schéma D2Q9 avec relaxation BGK : cavité à couvercle mobile ou écoulement autour d’un cylindre, couleur de vorticité, nombre de Reynolds et réflexion sur les parois.

LBM pédagogique compact : petit maillage, collision BGK, parois à réflexion simple et frontières d’entrée/sortie qualitatives. Pour l’intuition du schéma numérique, pas pour de la CFD de production.

Graphiques

À propos du modèle

La méthode de Boltzmann sur réseau décrit l’écoulement par des fonctions de distribution sur des vitesses discrètes, et non par une discrétisation directe des équations de Navier–Stokes. Jeu D2Q9 et relaxation BGK : les distributions relaxent vers l’équilibre local, sont transportées vers les cellules voisines et se réfléchissent sur les parois solides. Deux régimes : cavité à couvercle mobile et écoulement autour d’un cylindre. La couleur encode la vorticité — on voit la recirculation, les couches de cisaillement et le sillage quand le nombre de Reynolds varie. La viscosité en unités de réseau est ν = (τ − 1/2)/3 ; un temps de relaxation τ trop proche de 1/2 rend le schéma instable.

Public : Calcul scientifique, méthodes numériques, mécanique des fluides numérique : schémas mésoscopiques.

Notions clés

méthode de Boltzmann sur réseau
jeu D2Q9
relaxation BGK
vorticité
nombre de Reynolds
réflexion sur les parois

Comment ça marche

Dans la LBM, le fluide est décrit par des fonctions de distribution f_i selon les directions discrètes du réseau. En D2Q9, neuf vitesses ; chaque pas combine une collision (relaxation) vers l’équilibre f_i^eq et un transport — flux le long des liens du réseau — vers les cellules voisines : f_i(x+c_i,t+1)=f_i(x,t)-ω(f_i-f_i^eq). La viscosité est fixée par ν=(τ−1/2)/3, et le nombre de Reynolds par Re=UL/ν. Sur les parois et sur le cylindre, les fonctions de distribution se réfléchissent avec retournement (bounce-back).

Formules

D2Q9: f_i(x+c_i,t+1) = f_i(x,t) − ω(f_i − f_i^eq)

ν = c_s²(τ−1/2), c_s²=1/3, Re = U L / ν

Questions fréquentes

Pourquoi la méthode de Boltzmann sur réseau utilise-t-elle des fonctions de distribution, et non la vitesse directement ?: Le schéma fait évoluer les fonctions de distribution selon les directions discrètes du réseau. La masse volumique et la vitesse macroscopiques sont des moments de ces fonctions : le transport est donc local, et les parois s’imposent aisément par réflexion.
Que contrôle le temps de relaxation τ ?: Pour D2Q9 avec BGK, la viscosité en unités de réseau vaut ν = (τ − 1/2)/3. Un τ trop proche de 0,5 signifie une viscosité très faible et peut rendre le schéma numériquement instable.
En quoi la cavité à couvercle diffère-t-elle de l’écoulement autour d’un cylindre ?: Dans la cavité, la paroi supérieure impose un cisaillement et des tourbillons se forment à l’intérieur. Autour du cylindre, on voit le sillage et le décollement quand le nombre de Reynolds croît. Dans les deux cas, la couleur est la vorticité.

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