Por que a rede de Boltzmann usa funções de distribuição, e não a velocidade de forma direta?

O esquema evolui populações nas direções discretas da rede. Densidade e velocidade macroscópicas são momentos dessas populações, de modo que o transporte é local e as fronteiras se impõem com reflexão.

O que controla o tempo de relaxação τ?

No D2Q9 com BGK, a viscosidade em unidades de rede vale ν = (τ − 1/2)/3. Um τ perto demais de 0,5 significa viscosidade muito baixa e pode levar à instabilidade numérica.

Em que a cavidade com tampa difere do escoamento em torno de um cilindro?

Na cavidade, a parede de cima impõe um cisalhamento e formam-se vórtices no interior. No escoamento em torno do cilindro veem-se a esteira e o descolamento quando o número de Reynolds cresce. Nos dois casos a cor é a vorticidade.

Rede de Boltzmann (D2Q9)

Esquema D2Q9 com relaxação BGK: cavidade com tampa móvel ou escoamento em torno de um cilindro, cor da vorticidade, número de Reynolds e reflexão nas paredes.

É uma LBM didática compacta: malha pequena, colisão BGK, paredes com reflexão simples e fronteiras de entrada e saída qualitativas. Serve para a intuição do método numérico, não para CFD de produção.

Gráficos

Sobre o modelo

A rede de Boltzmann descreve o escoamento por funções de distribuição em velocidades discretas, e não por uma discretização direta das equações de Navier–Stokes. No conjunto D2Q9 com relaxação BGK, as distribuições colidem rumo ao equilíbrio local, avançam para as células vizinhas e se refletem nas fronteiras sólidas. Há dois regimes: cavidade com tampa móvel e escoamento em torno de um cilindro. A tela pinta a vorticidade: aparecem recirculação, camadas de cisalhamento e a esteira quando se muda o número de Reynolds. A viscosidade em unidades de rede é ν = (τ − 1/2)/3; um tempo de relaxação τ perto demais de 1/2 deixa o esquema instável.

Para quem: Computação científica, métodos numéricos, dinâmica dos fluidos computacional: esquemas mesoscópicos.

Conceitos-chave

rede de Boltzmann
conjunto D2Q9
relaxação BGK
vorticidade
número de Reynolds
reflexão nas paredes

Como funciona

Na LBM o fluido é descrito por funções de distribuição f_i nas direções discretas da rede. Em D2Q9 há nove velocidades; cada passo consiste numa colisão (relaxação) rumo ao equilíbrio f_i^eq e num transporte — fluxo pelos elos da rede — até as células vizinhas: f_i(x+c_i,t+1)=f_i(x,t)-ω(f_i-f_i^eq). A viscosidade fica fixada por ν=(τ−1/2)/3, e o número de Reynolds por Re=UL/ν. Nas paredes e no cilindro as funções de distribuição se refletem com inversão (bounce-back).

Fórmulas principais

D2Q9: f_i(x+c_i,t+1) = f_i(x,t) − ω(f_i − f_i^eq)

ν = c_s²(τ−1/2), c_s²=1/3, Re = U L / ν

Perguntas frequentes

Por que a rede de Boltzmann usa funções de distribuição, e não a velocidade de forma direta?: O esquema evolui populações nas direções discretas da rede. Densidade e velocidade macroscópicas são momentos dessas populações, de modo que o transporte é local e as fronteiras se impõem com reflexão.
O que controla o tempo de relaxação τ?: No D2Q9 com BGK, a viscosidade em unidades de rede vale ν = (τ − 1/2)/3. Um τ perto demais de 0,5 significa viscosidade muito baixa e pode levar à instabilidade numérica.
Em que a cavidade com tampa difere do escoamento em torno de um cilindro?: Na cavidade, a parede de cima impõe um cisalhamento e formam-se vórtices no interior. No escoamento em torno do cilindro veem-se a esteira e o descolamento quando o número de Reynolds cresce. Nos dois casos a cor é a vorticidade.

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