Que se passe-t-il si R est beaucoup plus petit que Q ?

Le filtre fait confiance aux mesures et se colle aux données bruitées : la bande ±2σ se resserre, mais l’estimée tremble. Un grand R fait l’inverse — une trace lisse et en retard, qui fait davantage confiance au modèle de processus qu’aux capteurs.

Qu’est-ce qu’une innovation ?

L’innovation est l’écart entre la nouvelle mesure et ce qu’attendait la prédiction. Pour un filtre linéaire-gaussien bien réglé, les innovations ressemblent à un bruit blanc de moyenne nulle ; des résidus structurés suggèrent un décalage de modèle.

Pourquoi les modèles de marche aléatoire et de vitesse constante ?

La marche aléatoire convient à des scalaires qui dérivent lentement ; la vitesse constante ajoute un état de vitesse, pour que le filtre « file » à travers le bruit entre les mesures. Un mauvais modèle de mouvement biaise l’estimée même si Q et R paraissent plausibles.

Filtre de Kalman (1D)

Estimation optimale récursive : mesures bruitées, vérité cachée, prédiction et mise à jour avec Q et R ; marche aléatoire ou vitesse constante, bande ±2σ et résidus.

À propos du modèle

Le filtre de Kalman estime de façon récursive un état scalaire caché à partir de mesures bruitées. À chaque pas, la prédiction avance avec la covariance de processus Q, puis l’estimée se met à jour avec la variance de mesure R par un gain qui minimise l’erreur quadratique moyenne sous des hypothèses linéaire-gaussiennes. Sur le graphe : la vérité cachée, les mesures, l’estimée, la bande ±2σ issue de la covariance P et les innovations (résidus). Le modèle de mouvement est une marche aléatoire ou une vitesse constante. Idéalisations : dynamique linéaire, bruits blancs gaussiens, sans valeurs aberrantes ni capteurs non linéaires. Q et R fixent le compromis entre retard et tremblement ; pour un filtre cohérent, les innovations ressemblent à un bruit blanc.

Public : Estimation, automatique, robotique, traitement du signal : introduction au filtre de Kalman.

Notions clés

filtre de Kalman
bruit de processus Q
bruit de mesure R
innovation
covariance
estimation optimale

Comment ça marche

Prédiction : x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q. Correction : K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹ rapproche l’estimée de la mesure z. Sur le graphe : vérité, points bruités, estimée et bande ±2σ ; en bas, les résidus. Marche aléatoire ou vitesse constante ; Q et R changent le lissage et le retard.

Formules

predict: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q

update: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹

x̂ = x̂⁻ + K (z − H x̂⁻), P = (I − K H) P⁻

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si R est beaucoup plus petit que Q ?: Le filtre fait confiance aux mesures et se colle aux données bruitées : la bande ±2σ se resserre, mais l’estimée tremble. Un grand R fait l’inverse — une trace lisse et en retard, qui fait davantage confiance au modèle de processus qu’aux capteurs.
Qu’est-ce qu’une innovation ?: L’innovation est l’écart entre la nouvelle mesure et ce qu’attendait la prédiction. Pour un filtre linéaire-gaussien bien réglé, les innovations ressemblent à un bruit blanc de moyenne nulle ; des résidus structurés suggèrent un décalage de modèle.
Pourquoi les modèles de marche aléatoire et de vitesse constante ?: La marche aléatoire convient à des scalaires qui dérivent lentement ; la vitesse constante ajoute un état de vitesse, pour que le filtre « file » à travers le bruit entre les mesures. Un mauvais modèle de mouvement biaise l’estimée même si Q et R paraissent plausibles.

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