Pourquoi l’association est-elle « offerte » ?

En vrai, il faut lever une ambiguïté **permutationnelle** entre balises semblables. Ici les ID sont fixés, pour séparer la linéarisation de l’EKF des erreurs de correspondance.

Pourquoi la carte peut-elle dériver alors que les mesures arrivent sans cesse ?

L’EKF ne garde qu’**un pic gaussien** ; la non-linéarité et la relinéarisation répétée introduisent un **biais** ; une incertitude sous-estimée aggrave la dérive. En TD on ajoute une **fermeture de boucle** ou une optimisation non linéaire par lot.

Que signifie l’ellipse ambre autour d’une balise ?

C’est la covariance **marginale 2×2** des coordonnées de cette balise, extraite de la matrice **P** complète **9×9** : une lecture visuelle, pas une région de confiance rigoureuse.

Pourquoi le bruit d’odométrie est-il dans le repère du monde, et non un modèle « bicyclette » ?

Le code se lit mieux : un **Δx, Δy, Δθ** commun avec du bruit. Une cinématique réaliste ajoute des paramètres et détourne des **jacobiennes de mesure** et de la mise à jour de la carte.

EKF SLAM (pédagogique)

Vecteur d’état augmenté [x,y,θ, balises…] : prédiction par odométrie bruitée, correction distance–azimut à association connue, couplage de covariance carte–robot.

À propos du modèle

L’EKF SLAM relie l’incertitude de la pose à celle des balises : c’est la localisation et la cartographie simultanées. Un filtre de Kalman étendu dans le plan pour un SLAM de cours : dans un seul vecteur d’état figurent (x, y, θ) du robot et les coordonnées de trois balises ponctuelles. La trajectoire vraie est une courbe lisse (proche d’une figure de Lissajous) ; le filtre reçoit des incréments d’odométrie bruités dans le repère du monde et des mesures de distance et d’azimut vers chaque balise, avec association connue (le numéro de la balise est donné). La carte est initialisée volontairement fausse, avec une grande incertitude, pour rendre visible le couplage de covariance carte–robot lors des réobservations. Les jacobiennes sont celles, classiques, d’une mesure polaire autour de l’état moyen ; la covariance de l’innovation est 2×2, inversée explicitement ; après chaque balise, P ← (I−KH)P avec symétrisation (hypothèses numériques de cours). Comparez le robot et la carte verts à l’estimation rouge de la pose et aux balises ambre, plus les ellipses 2σ.

Public : Après un exercice sur Kalman : EKF SLAM minimal, avant les méthodes sur graphe, la fermeture de boucle et l’association inconnue.

Notions clés

filtre de Kalman étendu
SLAM
état augmenté
balise
distance et azimut
association de données
covariance de l’innovation
couplage carte–robot

Comment ça marche

Une gaussienne sur le vecteur [x,y,θ, balises] ; la prédiction est un déplacement linéarisé avec bruit, la correction se fait sur r et φ avec les jacobiennes ; le couplage de P entre le robot et la carte, c’est l’EKF SLAM en miniature.

Questions fréquentes

Pourquoi l’association est-elle « offerte » ?: En vrai, il faut lever une ambiguïté permutationnelle entre balises semblables. Ici les ID sont fixés, pour séparer la linéarisation de l’EKF des erreurs de correspondance.
Pourquoi la carte peut-elle dériver alors que les mesures arrivent sans cesse ?: L’EKF ne garde qu’un pic gaussien ; la non-linéarité et la relinéarisation répétée introduisent un biais ; une incertitude sous-estimée aggrave la dérive. En TD on ajoute une fermeture de boucle ou une optimisation non linéaire par lot.
Que signifie l’ellipse ambre autour d’une balise ?: C’est la covariance marginale 2×2 des coordonnées de cette balise, extraite de la matrice P complète 9×9 : une lecture visuelle, pas une région de confiance rigoureuse.
Pourquoi le bruit d’odométrie est-il dans le repère du monde, et non un modèle « bicyclette » ?: Le code se lit mieux : un Δx, Δy, Δθ commun avec du bruit. Une cinématique réaliste ajoute des paramètres et détourne des jacobiennes de mesure et de la mise à jour de la carte.

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