¿Qué ocurre si R es mucho menor que Q?

El filtro confía en las mediciones y se pega a los datos ruidosos: la banda ±2σ se comprime, pero la estimación tiembla. Un R grande hace lo contrario: una traza suave y retrasada, que cree más en el modelo de proceso que en los sensores.

¿Qué es la innovación?

La innovación es la diferencia entre la medición nueva y lo que esperaba la predicción. En un filtro lineal-gaussiano bien ajustado las innovaciones se parecen a ruido blanco de media nula; residuos estructurados delatan un desajuste del modelo.

¿Para qué los modelos de caminata aleatoria y de velocidad constante?

La caminata aleatoria sirve para escalares que derivan despacio; la velocidad constante añade un estado de velocidad para que el filtro avance a través del ruido entre mediciones. Un modelo de movimiento equivocado sesga la estimación aunque Q y R parezcan verosímiles.

Filtro de Kalman (1D)

Estimación óptima recursiva: mediciones ruidosas, verdad oculta, predicción y corrección con Q y R; caminata aleatoria o velocidad constante, banda ±2σ e innovaciones.

Sobre el modelo

El filtro de Kalman estima de forma recursiva un estado escalar oculto a partir de mediciones ruidosas. En cada paso la predicción avanza con la covarianza de proceso Q; luego la estimación se corrige con la varianza de medición R mediante una ganancia que minimiza el error cuadrático medio bajo hipótesis lineal-gaussianas. En la gráfica: la verdad oculta, las mediciones, la estimación, la banda ±2σ de la covarianza P y las innovaciones (residuos). El modelo de movimiento es una caminata aleatoria o una velocidad constante. Idealizaciones: dinámica lineal, ruidos blancos gaussianos, sin valores atípicos ni sensores no lineales. Q y R fijan el compromiso entre retraso y temblor; en un filtro coherente las innovaciones se parecen a ruido blanco.

Para quién: Estimación, control, robótica, procesamiento de señales: introducción al filtro de Kalman.

Conceptos clave

filtro de Kalman
ruido de proceso Q
ruido de medición R
innovación
covarianza
estimación óptima

Cómo funciona

Predicción: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q. Corrección: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹ acerca la estimación a la medición z. En la gráfica, la verdad, los puntos ruidosos, la estimación y la banda ±2σ; abajo, los residuos. Caminata aleatoria o velocidad constante; Q y R cambian la suavidad y el retraso.

Fórmulas principales

predict: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q

update: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹

x̂ = x̂⁻ + K (z − H x̂⁻), P = (I − K H) P⁻

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre si R es mucho menor que Q?: El filtro confía en las mediciones y se pega a los datos ruidosos: la banda ±2σ se comprime, pero la estimación tiembla. Un R grande hace lo contrario: una traza suave y retrasada, que cree más en el modelo de proceso que en los sensores.
¿Qué es la innovación?: La innovación es la diferencia entre la medición nueva y lo que esperaba la predicción. En un filtro lineal-gaussiano bien ajustado las innovaciones se parecen a ruido blanco de media nula; residuos estructurados delatan un desajuste del modelo.
¿Para qué los modelos de caminata aleatoria y de velocidad constante?: La caminata aleatoria sirve para escalares que derivan despacio; la velocidad constante añade un estado de velocidad para que el filtro avance a través del ruido entre mediciones. Un modelo de movimiento equivocado sesga la estimación aunque Q y R parezcan verosímiles.

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