O que acontece se R for muito menor que Q?

O filtro confia nas medições e cola-se aos dados ruidosos: a faixa ±2σ comprime-se, mas a estimativa treme. Um R grande faz o contrário — um traço suave e atrasado, que acredita mais no modelo de processo do que nos sensores.

O que é a inovação?

A inovação é a diferença entre a medição nova e o que a previsão esperava. Num filtro linear-gaussiano bem ajustado as inovações parecem ruído branco de média nula; resíduos estruturados denunciam um desajuste do modelo.

Para que os modelos de passeio aleatório e de velocidade constante?

O passeio aleatório serve para escalares que derivam devagar; a velocidade constante acrescenta um estado de velocidade para que o filtro avance através do ruído entre medições. Um modelo de movimento errado enviesa a estimativa mesmo que Q e R pareçam plausíveis.

Filtro de Kalman (1D)

Estimação ótima recursiva: medições ruidosas, verdade oculta, previsão e correção com Q e R; passeio aleatório ou velocidade constante, faixa ±2σ e inovações.

Sobre o modelo

O filtro de Kalman estima de forma recursiva um estado escalar oculto a partir de medições ruidosas. Em cada passo a previsão avança com a covariância de processo Q; depois a estimativa se corrige com a variância de medição R por um ganho que minimiza o erro quadrático médio sob hipóteses linear-gaussianas. No gráfico: a verdade oculta, as medições, a estimativa, a faixa ±2σ da covariância P e as inovações (resíduos). O modelo de movimento é um passeio aleatório ou uma velocidade constante. Idealizações: dinâmica linear, ruídos brancos gaussianos, sem valores atípicos nem sensores não lineares. Q e R fixam o compromisso entre atraso e tremor; num filtro coerente as inovações parecem ruído branco.

Para quem: Estimação, controle, robótica, processamento de sinais: introdução ao filtro de Kalman.

Conceitos-chave

filtro de Kalman
ruído de processo Q
ruído de medição R
inovação
covariância
estimação ótima

Como funciona

Previsão: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q. Correção: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹ aproxima a estimativa da medição z. No gráfico, a verdade, os pontos ruidosos, a estimativa e a faixa ±2σ; embaixo, os resíduos. Passeio aleatório ou velocidade constante; Q e R mudam a suavidade e o atraso.

Fórmulas principais

predict: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q

update: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹

x̂ = x̂⁻ + K (z − H x̂⁻), P = (I − K H) P⁻

Perguntas frequentes

O que acontece se R for muito menor que Q?: O filtro confia nas medições e cola-se aos dados ruidosos: a faixa ±2σ comprime-se, mas a estimativa treme. Um R grande faz o contrário — um traço suave e atrasado, que acredita mais no modelo de processo do que nos sensores.
O que é a inovação?: A inovação é a diferença entre a medição nova e o que a previsão esperava. Num filtro linear-gaussiano bem ajustado as inovações parecem ruído branco de média nula; resíduos estruturados denunciam um desajuste do modelo.
Para que os modelos de passeio aleatório e de velocidade constante?: O passeio aleatório serve para escalares que derivam devagar; a velocidade constante acrescenta um estado de velocidade para que o filtro avance através do ruído entre medições. Um modelo de movimento errado enviesa a estimativa mesmo que Q e R pareçam plausíveis.

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