Quando o conjunto de Julia é conexo?

Para z² + c o conjunto de Julia preenchido é conexo se e somente se c está no conjunto de Mandelbrot (a órbita crítica do zero permanece limitada). Fora, o conjunto de Julia desfaz-se em poeira de Cantor de pontos.

Em que isso difere do conjunto de Mandelbrot?

O conjunto de Mandelbrot varia c e parte sempre de z₀ = 0. A figura de Julia fixa um c e colore muitos z iniciais. O conjunto de Mandelbrot é o mapa de parâmetros para os quais os conjuntos de Julia são conexos.

Para que levar c ao longo de uma circunferência?

O caminho circular no plano c cruza de tempos em tempos a fronteira do conjunto de Mandelbrot, de modo que o conjunto de Julia muda à vista de lóbulos conexos a formas desconexas em poeira, sem caçar parâmetros à mão.

Conjunto de Julia

Parâmetro c no mini-Mandelbrot ou animação numa circunferência; poeira de Fatou contra conjuntos conexos.

Sobre o modelo

Para um parâmetro complexo c fixo, o conjunto de Julia do mapa z ↦ z² + c é a fronteira entre as órbitas que escapam para o infinito e as que permanecem limitadas (conjunto de Julia preenchido e componentes de Fatou). O parâmetro c escolhe-se com um clique no mini-Mandelbrot embutido ou percorre-se uma circunferência: dentro do conjunto de Mandelbrot os conjuntos de Julia são conexos; fora, desfazem-se em poeira de Fatou do tipo Cantor. A coloração segue o tempo de escape da iteração z_{n+1} = z_n² + c a partir de cada pixel como z inicial. A família é quadrática, sem mapas de grau maior e sem bacias de Newton; o número de iterações é finito.

Para quem: Dinâmica complexa: ligação entre os conjuntos de Mandelbrot e de Julia, conexidade.

Conceitos-chave

conjunto de Julia
conjunto de Julia preenchido
poeira de Fatou
conjunto de Mandelbrot
mapa quadrático
tempo de escape

Como funciona

O conjunto de Julia do mapa z ↦ z²+c com c fixo é a fronteira entre órbitas que escapam e órbitas limitadas. O pixel é o z inicial; a cor é o tempo de escape. Se c está no conjunto de Mandelbrot, o conjunto de Julia preenchido é conexo; senão, desfaz-se em poeira de Fatou de Cantor. O parâmetro c escolhe-se no mini-Mandelbrot ou percorre-se uma circunferência.

Fórmulas principais

J(c) = ∂{ z₀ ∈ ℂ : supₙ|zₙ| < ∞ }, zₙ₊₁ = zₙ² + c

connected ⇔ c ∈ M (Fatou–Julia)

Perguntas frequentes

Quando o conjunto de Julia é conexo?: Para z² + c o conjunto de Julia preenchido é conexo se e somente se c está no conjunto de Mandelbrot (a órbita crítica do zero permanece limitada). Fora, o conjunto de Julia desfaz-se em poeira de Cantor de pontos.
Em que isso difere do conjunto de Mandelbrot?: O conjunto de Mandelbrot varia c e parte sempre de z₀ = 0. A figura de Julia fixa um c e colore muitos z iniciais. O conjunto de Mandelbrot é o mapa de parâmetros para os quais os conjuntos de Julia são conexos.
Para que levar c ao longo de uma circunferência?: O caminho circular no plano c cruza de tempos em tempos a fronteira do conjunto de Mandelbrot, de modo que o conjunto de Julia muda à vista de lóbulos conexos a formas desconexas em poeira, sem caçar parâmetros à mão.

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