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Inicio/Visualización matemática/Conjunto de Julia

Conjunto de Julia

Parámetro c desde un Mandelbrot en miniatura o animación sobre un círculo; polvo de Fatou frente a conjuntos conexos.

Parámetros c = Re + Im·i

-0.7
0.27015
180

Galería

Magnitudes medidas

Re(c)-0.70000
Im(c)0.27015
|c|0.7503
¿c dentro de M?—
máx. iter.180

Sobre el modelo

El conjunto de Julia de la aplicación z ↦ z² + c, con el parámetro complejo c fijo, es la frontera entre las órbitas que escapan al infinito y las acotadas (conjunto de Julia relleno y componentes de Fatou). El parámetro c se elige con un clic en el Mandelbrot en miniatura o se recorre sobre un círculo: dentro del conjunto de Mandelbrot los conjuntos de Julia son conexos; afuera se deshacen en polvo de Fatou de tipo Cantor. El coloreado sigue el tiempo de escape de la iteración z_{n+1} = z_n² + c desde cada píxel como z inicial. La familia es cuadrática, sin mapas de potencias mayores ni cuencas de Newton; el número de iteraciones es finito.

Para quién: Dinámica compleja: vínculo entre los conjuntos de Mandelbrot y de Julia, conexidad.

Conceptos clave

  • conjunto de Julia
  • conjunto de Julia relleno
  • polvo de Fatou
  • conjunto de Mandelbrot
  • mapa cuadrático
  • tiempo de escape

Cómo funciona

El conjunto de Julia de la aplicación z ↦ z²+c con c fijo es la frontera entre órbitas que escapan y órbitas acotadas. El píxel es el z inicial; el color es el tiempo de escape. Si c está en el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia relleno es conexo; si no, se deshace en polvo de Fatou de tipo Cantor. El parámetro c se elige en el Mandelbrot en miniatura o se recorre sobre un círculo.

Fórmulas principales

J(c) = ∂{ z₀ ∈ ℂ : supₙ|zₙ| < ∞ }, zₙ₊₁ = zₙ² + c
connected ⇔ c ∈ M (Fatou–Julia)

Preguntas frecuentes

¿Cuándo el conjunto de Julia es conexo?
Para z² + c el conjunto de Julia relleno es conexo si y solo si c está en el conjunto de Mandelbrot (la órbita crítica del cero permanece acotada). Afuera el conjunto de Julia se deshace en un polvo de Cantor de puntos.
¿En qué se diferencia del conjunto de Mandelbrot?
El conjunto de Mandelbrot varía c y siempre arranca en z₀ = 0. La imagen de Julia fija un solo c y colorea muchos z iniciales. El conjunto de Mandelbrot es el mapa de parámetros para los que los conjuntos de Julia son conexos.
¿Para qué recorrer c sobre un círculo?
El camino circular en el plano c cruza periódicamente la frontera del conjunto de Mandelbrot, así que el conjunto de Julia pasa a la vista de bulbos conexos a formas disconexas de polvo, sin buscar parámetros a mano.