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Accueil/Visualisation mathématique/Harmonographe

Harmonographe

Sur les axes x et y — sommes de deux harmoniques amorties. Faible amortissement : figures de Lissajous ; amortissement net : rosace qui s’éteint.

Sommes de pendules

120 px
95 px
118 px
72 px
1.07
1.31
0.97
1.18
38°
72°
0.08
1.15

x(t) et y(t) sont des sommes de deux harmoniques amorties (harmonographe à l’écran). Choisissez les rapports pour des rosaces denses ou des boucles ouvertes.

À propos du modèle

L’harmonographe trace le sillage d’un point dont x et y sont des sommes de deux harmoniques amorties : x(t) = A₁ e^{−δt} sin(ω₁ t + φ) + A₂ e^{−δt} sin(ω₂ t), et de même en y avec les pulsations ω₃, ω₄ et la phase ψ. Sans amortissement, on obtient des figures de Lissajous ; si δ > 0, l’amplitude chute et la rosace se resserre vers le centre. Les rapports de pulsations fixent le nombre de pétales et de boucles. Les phases φ et ψ tournent le motif. Les pendules réels d’un harmonographe sont légèrement couplés et ne perdent pas l’énergie selon une seule exponentielle — ici les oscillateurs sont indépendants, l’amortissement est commun. À l’écran, le point dessine la trace ; on peut changer la vitesse de tracé.

Public : Oscillations et courbes paramétriques : superposition d’harmoniques amorties, comparaison avec les figures de Lissajous.

Notions clés

  • harmonographe
  • oscillations amorties
  • figures de Lissajous
  • pulsation
  • déphasage
  • superposition
  • équations paramétriques

Comment ça marche

Les coordonnées du stylet sont des sommes de deux harmoniques amorties en x et en y. Si δ est petit, la trace est proche d’une figure de Lissajous ; si l’amortissement est net, la rosace se resserre vers le centre. Les rapports ω₁ : ω₂ et ω₃ : ω₄ fixent le nombre de boucles ; les phases φ et ψ tournent le motif.

Questions fréquentes

Pourquoi le dessin se resserre-t-il vers le centre avec le temps ?
Chaque terme porte le facteur e^{−δt}. L’amplitude chute — c’est le modèle du frottement dans les suspensions. Si δ = 0, la trace ne s’amortirait pas et répéterait la même figure de Lissajous.
En quoi l’harmonographe diffère-t-il des figures de Lissajous ?
Chez Lissajous, chaque axe porte une seule harmonique non amortie, et la courbe est fermée. Ici, chaque axe est une somme de deux harmoniques plus un amortissement : les boucles ne se superposent plus d’un tour à l’autre et se resserrent vers l’origine.
Que fait la phase lorsque les pulsations sont égales ?
Comme chez Lissajous : un écart de 0° donne un segment, 90° un cercle (à amplitudes égales). Un décalage d’un mélange par rapport à l’autre tourne ou écrase la rosace.