¿Por qué el dibujo se encoge hacia el centro con el tiempo?

En cada término hay un factor e^{−δt}. La amplitud cae: es el modelo de la fricción en los soportes. Con δ = 0 el rastro no se apagaría y repetiría la misma figura de Lissajous.

¿En qué se diferencia el harmonógrafo de las figuras de Lissajous?

En Lissajous, en cada eje hay una sola armónica sin amortiguar y la curva se cierra. Aquí, en cada eje hay una suma de dos armónicas más el amortiguamiento: los lazos no coinciden de una vuelta a la siguiente y se van al origen.

¿Qué hace la fase cuando las frecuencias son iguales?

Como en Lissajous: una diferencia de 0° da un segmento; 90°, una circunferencia (si las amplitudes son iguales). Un desfase de una mezcla respecto de la otra gira o aplasta la roseta.

Harmonógrafo

En x y en y, sumas de dos armónicas amortiguadas. Con poco amortiguamiento, figuras de Lissajous; con amortiguamiento notable, una roseta que se apaga.

Sobre el modelo

El harmonógrafo traza el rastro de un punto cuyas coordenadas x e y son sumas de dos armónicas amortiguadas: x(t) = A₁ e^{−δt} sin(ω₁ t + φ) + A₂ e^{−δt} sin(ω₂ t), e igual en y con las frecuencias ω₃, ω₄ y la fase ψ. Sin amortiguamiento salen figuras de Lissajous; si δ > 0 la amplitud cae y la roseta se enrolla hacia el centro. Las razones de frecuencias fijan el número de pétalos y de lazos. Las fases φ y ψ giran el dibujo. En un harmonógrafo real los péndulos están un poco acoplados y no pierden energía con una sola exponencial: aquí los osciladores son independientes y el amortiguamiento es común. En pantalla el punto dibuja el rastro; se puede cambiar la velocidad del trazo.

Para quién: Oscilaciones y curvas paramétricas: superposición de armónicas amortiguadas y comparación con las figuras de Lissajous.

Conceptos clave

harmonógrafo
oscilaciones amortiguadas
figuras de Lissajous
frecuencia angular
desfase
superposición
ecuaciones paramétricas

Cómo funciona

Las coordenadas de la pluma son sumas de dos armónicas amortiguadas en x y en y. Con δ pequeño el rastro se parece a una figura de Lissajous; con amortiguamiento notable la roseta se enrolla hacia el centro. Las razones ω₁ : ω₂ y ω₃ : ω₄ fijan el número de lazos; las fases φ y ψ giran el dibujo.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el dibujo se encoge hacia el centro con el tiempo?: En cada término hay un factor e^{−δt}. La amplitud cae: es el modelo de la fricción en los soportes. Con δ = 0 el rastro no se apagaría y repetiría la misma figura de Lissajous.
¿En qué se diferencia el harmonógrafo de las figuras de Lissajous?: En Lissajous, en cada eje hay una sola armónica sin amortiguar y la curva se cierra. Aquí, en cada eje hay una suma de dos armónicas más el amortiguamiento: los lazos no coinciden de una vuelta a la siguiente y se van al origen.
¿Qué hace la fase cuando las frecuencias son iguales?: Como en Lissajous: una diferencia de 0° da un segmento; 90°, una circunferencia (si las amplitudes son iguales). Un desfase de una mezcla respecto de la otra gira o aplasta la roseta.

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