Por que o desenho vai se contraindo até o centro?

Em cada termo há o fator e^{−δt}. A amplitude cai — é o modelo do atrito nas suspensões. Com δ = 0 o rastro não amorteceria e repetiria a mesma figura de Lissajous.

Em que o harmonógrafo difere das figuras de Lissajous?

Nas figuras de Lissajous há, em cada eixo, uma só harmônica sem amortecimento, e a curva é fechada. Aqui, em cada eixo, soma-se duas harmônicas e há amortecimento: os laços não coincidem de uma volta para a outra e se aproximam da origem.

O que a fase faz quando as frequências são iguais?

Como em Lissajous: diferença de 0° dá um segmento; 90°, uma circunferência (com amplitudes iguais). Deslocar uma mistura em relação à outra gira ou achata a roseta.

Harmonógrafo

Nos eixos x e y — somas de duas harmônicas amortecidas. Com amortecimento pequeno — figuras de Lissajous; com amortecimento nítido — roseta que se apaga.

Sobre o modelo

O harmonógrafo traça o rastro de um ponto cujas coordenadas x e y são somas de duas harmônicas amortecidas: x(t) = A₁ e^{−δt} sin(ω₁ t + φ) + A₂ e^{−δt} sin(ω₂ t), e o análogo em y com frequências ω₃, ω₄ e fase ψ. Sem amortecimento aparecem as figuras de Lissajous; com δ > 0 a amplitude cai e a roseta se enrola até o centro. As razões das frequências fixam o número de pétalas e de laços. As fases φ e ψ giram o desenho. Nos pêndulos reais de um harmonógrafo há um pouco de acoplamento, e a energia não se perde numa só exponencial — aqui os osciladores são independentes e o amortecimento é o mesmo nos dois eixos. Na tela o ponto desenha o rastro; a velocidade do traçado pode ser alterada.

Para quem: Oscilações e curvas paramétricas: superposição de harmônicas amortecidas, comparação com as figuras de Lissajous.

Conceitos-chave

harmonógrafo
oscilações amortecidas
figuras de Lissajous
frequência angular
defasagem
superposição
equações paramétricas

Como funciona

As coordenadas da ponta são somas de duas harmônicas amortecidas em x e em y. Com δ pequeno o rastro se aproxima de uma figura de Lissajous; com amortecimento nítido a roseta se enrola até o centro. As razões ω₁ : ω₂ e ω₃ : ω₄ fixam o número de laços; as fases φ e ψ giram o desenho.

Perguntas frequentes

Por que o desenho vai se contraindo até o centro?: Em cada termo há o fator e^{−δt}. A amplitude cai — é o modelo do atrito nas suspensões. Com δ = 0 o rastro não amorteceria e repetiria a mesma figura de Lissajous.
Em que o harmonógrafo difere das figuras de Lissajous?: Nas figuras de Lissajous há, em cada eixo, uma só harmônica sem amortecimento, e a curva é fechada. Aqui, em cada eixo, soma-se duas harmônicas e há amortecimento: os laços não coincidem de uma volta para a outra e se aproximam da origem.
O que a fase faz quando as frequências são iguais?: Como em Lissajous: diferença de 0° dá um segmento; 90°, uma circunferência (com amplitudes iguais). Deslocar uma mistura em relação à outra gira ou achata a roseta.

Continue com temas próximos desta categoria — ou todos os 85 em «Visualização matemática».

Toda a categoria →

Escola

Figuras de Lissajous

Abrir o simulador

Duas oscilações harmônicas em eixos perpendiculares: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Razão inteira de frequências dá curva fechada.

NovoEscola

Fasor complexo

Abrir o simulador

Ponto e^{i(ωt+φ)} no círculo unitário; projeções Re, Im e fase φ.

NovoCrianças

Espirógrafo

Abrir o simulador

Hipotrocoide ou epitrocoide: raio fixo R, raio que rola r, ponta à distância d. Rastro colorido e dica do período.

NovoUniversidade / pesquisa

Retrato de fase

Abrir o simulador

Campo de direções e trajetórias no clique: harmônico, amortecimento, sela, nós, focos, pêndulo (RK4).

NovoEscola

Lotka–Volterra

Abrir o simulador

Modelo clássico predador–presa: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Plano de fases, integração de Runge–Kutta, ponto de equilíbrio (γ/δ, α/β).

PopularEscola

Séries de Fourier

Abrir o simulador

A função periódica decompõe-se em soma de harmônicas — senos e cossenos de frequências múltiplas. Mude o número de termos e compare a soma parcial com a onda quadrada, o dente de serra ou a triangular.

Harmonógrafo

Sobre o modelo

Como funciona

Perguntas frequentes

Simuladores relacionados

Figuras de Lissajous

Fasor complexo

Espirógrafo

Retrato de fase

Lotka–Volterra

Séries de Fourier

Harmonógrafo

Sobre o modelo

Como funciona

Perguntas frequentes