Hypotrochoïde ou épitrochoïde : rayon fixe R, rayon roulant r, stylet à la distance d. Trace colorée et indication de la période.
À propos du modèle
Le spirographe trace une hypotrochoïde ou une épitrochoïde : le stylet est à la distance d du centre d’un cercle de rayon r, qui roule sans glissement sur un cercle fixe de rayon R. À l’intérieur (hypotrochoïde) : x = (R − r) cos t + d cos(((R − r)/r) t), y = (R − r) sin t − d sin(((R − r)/r) t). À l’extérieur (épitrochoïde), R − r est remplacé par R + r, et les signes du terme en d changent. Si d = r, on obtient une hypocycloïde et une épicycloïde, avec des points de rebroussement. La courbe se ferme si le rapport des rayons est rationnel : la roue mobile revient au même point après un nombre fini de tours. Il n’y a ni frottement ni glissement. À l’écran : une trace colorée et une indication de la période.
Public : Équations paramétriques et courbes : hypotrochoïde, épitrochoïde, rapports rationnels de rayons.
Notions clés
spirographe
hypotrochoïde
épitrochoïde
hypocycloïde
équations paramétriques
roulement sans glissement
Comment ça marche
Le stylet est fixé à la distance d du centre d’un cercle de rayon r, qui roule sans glissement à l’intérieur ou à l’extérieur d’un cercle fixe R. C’est une hypotrochoïde ou une épitrochoïde. Un rapport R/r rationnel donne une courbe fermée ; si d = r apparaissent les points de rebroussement des cycloïdes. À l’écran : trace colorée et indication de la période.
Questions fréquentes
Quand le motif se ferme-t-il en une rosace finie ?
Lorsque le rapport R/r est rationnel. Après un nombre fini de tours, le stylet revient au point de départ avec la même phase. Le nombre de pétales tient au nombre de tours nécessaires jusqu’à la première répétition.
En quoi l’hypotrochoïde diffère-t-elle de l’épitrochoïde ?
Hypotrochoïde : la petite roue roule à l’intérieur de l’anneau fixe. Épitrochoïde : à l’extérieur. Les équations paramétriques diffèrent par le signe de R ± r, et les familles de formes ne sont pas les mêmes.
Que se passe-t-il si la distance du stylet d égale le rayon r ?
Le stylet est sur le bord du cercle roulant. L’hypotrochoïde devient une hypocycloïde, l’épitrochoïde une épicycloïde : les boucles cèdent la place à des points de rebroussement.