Почему рисунок со временем сжимается к центру?

В каждом члене есть множитель e^{−δt}. Амплитуда падает — модель трения в подвесах. При δ = 0 след не затухал бы и повторял бы ту же фигуру Лиссажу.

Чем гармонограф отличается от фигур Лиссажу?

У Лиссажу по каждой оси одна незатухающая гармоника, кривая замкнута. Здесь по каждой оси сумма двух гармоник плюс затухание: петли не совпадают от оборота к обороту и уходят к началу координат.

Что делает фаза при равных частотах?

Как у Лиссажу: разность 0° даёт отрезок, 90° — окружность (при равных амплитудах). Сдвиг одной смеси относительно другой поворачивает или сплющивает розетку.

Гармонограф

По осям x и y — суммы двух затухающих гармоник. При малом затухании — фигуры Лиссажу; при заметном — угасающая розетка.

О модели

Гармонограф рисует след точки, у которой x и y — суммы двух затухающих гармоник: x(t) = A₁ e^{−δt} sin(ω₁ t + φ) + A₂ e^{−δt} sin(ω₂ t), и аналогично по y с частотами ω₃, ω₄ и фазой ψ. При нулевом затухании получаются фигуры Лиссажу; при δ > 0 амплитуда падает, и розетка скручивается к центру. Отношения частот задают число лепестков и петель. Фазы φ и ψ поворачивают узор. Реальные маятники гармонографа слегка связаны и теряют энергию не строго по одной экспоненте — здесь осцилляторы независимы, затухание общее. На экране точка чертит след; скорость рисования можно менять.

Для кого: Колебания и параметрические кривые: суперпозиция затухающих гармоник, сравнение с фигурами Лиссажу.

Ключевые понятия

гармонограф
затухающие колебания
фигуры Лиссажу
угловая частота
сдвиг фазы
суперпозиция
параметрические уравнения

Как это работает

Координаты пера — суммы двух затухающих гармоник по x и по y. При малом δ след близок к фигуре Лиссажу; при заметном затухании розетка скручивается к центру. Отношения ω₁ : ω₂ и ω₃ : ω₄ задают число петель; фазы φ и ψ поворачивают узор.

Часто задаваемые вопросы

Почему рисунок со временем сжимается к центру?: В каждом члене есть множитель e^{−δt}. Амплитуда падает — модель трения в подвесах. При δ = 0 след не затухал бы и повторял бы ту же фигуру Лиссажу.
Чем гармонограф отличается от фигур Лиссажу?: У Лиссажу по каждой оси одна незатухающая гармоника, кривая замкнута. Здесь по каждой оси сумма двух гармоник плюс затухание: петли не совпадают от оборота к обороту и уходят к началу координат.
Что делает фаза при равных частотах?: Как у Лиссажу: разность 0° даёт отрезок, 90° — окружность (при равных амплитудах). Сдвиг одной смеси относительно другой поворачивает или сплющивает розетку.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

Школьные

Фигуры Лиссажу

Запустить симулятор

Два гармонических колебания по взаимно перпендикулярным осям: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Целое отношение частот даёт замкнутую кривую.

НовоеШкольные

Комплексный фазор

Запустить симулятор

Точка e^{i(ωt+φ)} на единичной окружности; проекции Re, Im и фаза φ.

НовоеДети

Спирограф (трохоиды)

Запустить симулятор

Гипотрохоида или эпитрохоида: неподвижный радиус R, катящийся r, перо на расстоянии d. Цветной след и подсказка о периоде.

НовоеУниверситет / научные

Фазовый портрет (2D ОДУ)

Запустить симулятор

Поле направлений и траектории по клику: гармоника, затухание, седло, узлы, фокусы, маятник (РК4).

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

Классическая модель хищник–жертва: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Фазовая плоскость, интегрирование Рунге–Кутты, точка равновесия (γ/δ, α/β).

ПопулярноеШкольные

Ряды Фурье

Запустить симулятор

Периодическую функцию раскладывают в сумму гармоник — синусов и косинусов кратных частот. Меняйте число членов и сравнивайте частичную сумму с меандром, пилой или треугольником.

Гармонограф

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Фигуры Лиссажу

Комплексный фазор

Спирограф (трохоиды)

Фазовый портрет (2D ОДУ)

Лотка–Вольтерра

Ряды Фурье

Гармонограф

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы