Por que o método dos volumes finitos calcula fluxos pelas faces?

A lei integral de conservação diz que a média na célula muda por causa do fluxo que atravessa as fronteiras. Os fluxos numéricos nas faces tornam a conservação local e explícita.

Por que as diferenças centrais podem oscilar?

Quando a advecção domina a difusão, o número de Péclet de malha é grande e a interpolação central não traz amortecimento numérico suficiente. O esquema a montante toma o valor de montante e estabiliza o transporte ao preço de difusão extra.

O que controla o CFL?

O número de Courant–Friedrichs–Lewy liga o passo de tempo, o passo da malha e a velocidade: um passo grande demais deixa o esquema explícito instável. Na tela o CFL aparece ao lado de Δt.

Volumes finitos: advecção e difusão

Transporte conservativo de um escalar numa malha 2D: fluxos pelas faces, esquema a montante ou interpolação central, número de Péclet, CFL e difusão numérica.

A demonstração usa fronteiras periódicas e um passo de tempo explícito a partir de limites simples de CFL e de difusão. As diferenças centrais podem oscilar se o número de Péclet for alto; o esquema a montante é mais limitado, porém mais difusivo.

Gráficos

Sobre o modelo

O método dos volumes finitos trata a advecção e a difusão de um escalar como um balanço de fluxos pelas faces do volume de controle. Resolve-se a equação ∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ) numa malha bidimensional periódica; os fluxos são calculados nas faces leste, oeste, norte e sul. O esquema a montante é mais dissipativo, mas respeita melhor os limites do campo; as diferenças centrais deixam o perfil mais nítido, porém podem oscilar quando o número de Péclet de malha é grande. Na tela ficam o campo escalar, o vetor velocidade, exemplos de fluxos e os números de Courant e de Péclet. Variam-se |u|, a direção, o coeficiente de difusão Γ e a escolha do esquema.

Para quem: Computação científica, dinâmica dos fluidos computacional, equações diferenciais parciais numéricas e fenômenos de transporte.

Conceitos-chave

método dos volumes finitos
fluxo pela face
esquema a montante
diferenças centrais
número de Péclet
número de Courant

Como funciona

O método dos volumes finitos guarda a média φ em cada célula e a atualiza com o balanço de fluxos pelas faces: ∂φ/∂t + ∇·(uφ)=∇·(Γ∇φ). Na face é preciso escolher φ_f: o esquema a montante toma o valor de montante e é estável, mas espalha a solução; o esquema central toma a média das células vizinhas e dá um perfil mais nítido, porém se Pe=|u|Δx/Γ for grande pode oscilar. Na tela veem-se o campo escalar, os fluxos nas faces, o CFL e o número de Péclet.

Fórmulas principais

∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ), integral sobre cada volume de controle

Fluxo na face: F_e φ_e − Γ(φ_E−φ_P)/Δx; Pe = |u|Δx/Γ

Perguntas frequentes

Por que o método dos volumes finitos calcula fluxos pelas faces?: A lei integral de conservação diz que a média na célula muda por causa do fluxo que atravessa as fronteiras. Os fluxos numéricos nas faces tornam a conservação local e explícita.
Por que as diferenças centrais podem oscilar?: Quando a advecção domina a difusão, o número de Péclet de malha é grande e a interpolação central não traz amortecimento numérico suficiente. O esquema a montante toma o valor de montante e estabiliza o transporte ao preço de difusão extra.
O que controla o CFL?: O número de Courant–Friedrichs–Lewy liga o passo de tempo, o passo da malha e a velocidade: um passo grande demais deixa o esquema explícito instável. Na tela o CFL aparece ao lado de Δt.

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