¿Por qué el método de volúmenes finitos calcula flujos a través de las caras?

La ley integral de conservación dice que el promedio en la celda cambia por el flujo que cruza sus fronteras. Los flujos numéricos en las caras hacen la conservación local y explícita.

¿Por qué las diferencias centrales pueden oscilar?

Cuando la advección domina a la difusión, el número de Péclet de malla es grande y la interpolación central no aporta suficiente amortiguamiento numérico. El esquema aguas arriba toma el valor de aguas arriba y estabiliza el transporte a costa de difusión extra.

¿Qué controla el CFL?

El número de Courant–Friedrichs–Lewy relaciona el paso de tiempo, el paso de malla y la velocidad: un paso demasiado grande vuelve inestable el esquema explícito. En pantalla el CFL aparece junto a Δt.

Volúmenes finitos: advección y difusión

Transporte conservativo de un escalar en una malla 2D: flujos a través de las caras, esquema aguas arriba o interpolación central, número de Péclet, CFL y difusión numérica.

La demo usa fronteras periódicas y un paso de tiempo explícito a partir de límites simples de CFL y de difusión. Las diferencias centrales pueden dar ondulaciones si el número de Péclet es alto; el esquema aguas arriba es más acotado, pero más difusivo.

Gráficas

Sobre el modelo

La advección y la difusión de un escalar en una malla se escriben como un balance de flujos a través de las caras del volumen de control. Se resuelve la ecuación ∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ) en una malla bidimensional periódica; los flujos se calculan en las caras este, oeste, norte y sur. El esquema aguas arriba es más disipativo, pero conserva mejor el carácter acotado; las diferencias centrales dan un perfil más nítido, pero pueden oscilar cuando el número de Péclet de malla es grande. En pantalla: el campo escalar, el vector de velocidad, ejemplos de flujos, los números de Courant y de Péclet. Se pueden cambiar |u|, la dirección, el coeficiente de difusión Γ y el esquema.

Para quién: Computación científica, dinámica de fluidos computacional, ecuaciones diferenciales parciales numéricas y fenómenos de transporte.

Conceptos clave

método de volúmenes finitos
flujo a través de la cara
esquema aguas arriba
diferencias centrales
número de Péclet
número de Courant

Cómo funciona

El método de volúmenes finitos guarda el promedio φ en cada celda y lo actualiza con el balance de flujos a través de las caras: ∂φ/∂t + ∇·(uφ)=∇·(Γ∇φ). En la cara hay que elegir φ_f: el esquema aguas arriba toma el valor de aguas arriba y es estable, pero emborrona la solución; el esquema central toma el promedio de las celdas vecinas y da un perfil más nítido, aunque si Pe=|u|Δx/Γ es grande puede oscilar. En pantalla se ven el campo escalar, los flujos en las caras, el CFL y el número de Péclet.

Fórmulas principales

∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ), integral sobre cada volumen de control

Flujo en la cara: F_e φ_e − Γ(φ_E−φ_P)/Δx; Pe = |u|Δx/Γ

Preguntas frecuentes

¿Por qué el método de volúmenes finitos calcula flujos a través de las caras?: La ley integral de conservación dice que el promedio en la celda cambia por el flujo que cruza sus fronteras. Los flujos numéricos en las caras hacen la conservación local y explícita.
¿Por qué las diferencias centrales pueden oscilar?: Cuando la advección domina a la difusión, el número de Péclet de malla es grande y la interpolación central no aporta suficiente amortiguamiento numérico. El esquema aguas arriba toma el valor de aguas arriba y estabiliza el transporte a costa de difusión extra.
¿Qué controla el CFL?: El número de Courant–Friedrichs–Lewy relaciona el paso de tiempo, el paso de malla y la velocidad: un paso demasiado grande vuelve inestable el esquema explícito. En pantalla el CFL aparece junto a Δt.

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