¿Por qué el péndulo de Euler se balancea más alto y gana energía?

Es un artefacto numérico. El Euler explícito es inestable a largo plazo en este sistema: la extrapolación lineal sobrestima de forma sistemática el incremento de ω y añade energía en cada paso. En el modelo conservativo la energía mecánica total es constante.

¿Para qué sirve entonces el método de Euler, si RK4 es más preciso?

Euler pide una evaluación del lado derecho por paso, frente a cuatro en RK4. Se deja donde importan la sencillez y un paso chico, y como primer esquema con el que se entiende el orden. Para que Euler alcance la precisión de RK4, h suele tener que hacerse tan fino que no conviene.

¿Qué pasa si se achica mucho el paso h?

Ambas soluciones se acercan a la verdadera y la deriva de energía de Euler, en un intervalo fijo, se debilita. El error de Euler escala como h; el de RK4, como h⁴: en eso consiste el orden del método.

¿Se tienen en cuenta la fricción y la masa de la varilla?

No: el hilo no tiene masa y es inextensible, la masa es puntual y no hay resistencia del aire. Así se aísla el error del esquema. En un péndulo real la energía bajaría por el amortiguamiento, no subiría como en Euler.

Euler y RK4 (péndulo simple)

Una misma ecuación no lineal del péndulo simple y un mismo paso h: el método de Euler explícito junto al de Runge–Kutta de cuarto orden.

Sobre el modelo

Péndulo simple sin la aproximación de ángulos pequeños: θ″ = −(g/L) sin θ. No hay solución analítica en funciones elementales, así que se comparan dos métodos numéricos sobre el mismo problema de Cauchy. La ecuación de segundo orden se reduce al sistema θ′ = ω, ω′ = −(g/L) sin θ. El método de Euler explícito da un paso lineal: θ ← θ + hω, ω ← ω + h a(θ). El de Runge–Kutta de cuarto orden (RK4) toma cuatro pendientes intermedias y deja un error local de orden h⁵. No hay fricción ni masa de la varilla: el sistema es conservativo y la energía total debe conservarse. Euler, con h grande, inyecta energía y desplaza la fase; RK4, con el mismo h, se queda mucho más cerca de la referencia. Se pueden cambiar g/L, el paso h y el ángulo inicial.

Para quién: Métodos numéricos y física computacional: EDO, orden del esquema, deriva de la energía.

Conceptos clave

integración numérica
método de Runge–Kutta
método de Euler
ecuación diferencial ordinaria
péndulo simple
error de truncamiento
conservación de la energía
espacio de fases

Cómo funciona

Una ecuación θ″ = −(g/L) sin θ, un ángulo inicial, un paso h. El Euler explícito actualiza θ y ω de forma lineal y, con h grande, inyecta energía; la fase se va. RK4 promedia cuatro pendientes y se queda mucho más cerca de la referencia conservativa. Si se achica h, Euler diverge más tarde, pero el costo en pasos crece.

Fórmulas principales

Euler: θ += ωh, ω += a(θ)h · RK4: promedio en cuatro etapas sobre (θ, ω)

Preguntas frecuentes

¿Por qué el péndulo de Euler se balancea más alto y gana energía?: Es un artefacto numérico. El Euler explícito es inestable a largo plazo en este sistema: la extrapolación lineal sobrestima de forma sistemática el incremento de ω y añade energía en cada paso. En el modelo conservativo la energía mecánica total es constante.
¿Para qué sirve entonces el método de Euler, si RK4 es más preciso?: Euler pide una evaluación del lado derecho por paso, frente a cuatro en RK4. Se deja donde importan la sencillez y un paso chico, y como primer esquema con el que se entiende el orden. Para que Euler alcance la precisión de RK4, h suele tener que hacerse tan fino que no conviene.
¿Qué pasa si se achica mucho el paso h?: Ambas soluciones se acercan a la verdadera y la deriva de energía de Euler, en un intervalo fijo, se debilita. El error de Euler escala como h; el de RK4, como h⁴: en eso consiste el orden del método.
¿Se tienen en cuenta la fricción y la masa de la varilla?: No: el hilo no tiene masa y es inextensible, la masa es puntual y no hay resistencia del aire. Así se aísla el error del esquema. En un péndulo real la energía bajaría por el amortiguamiento, no subiría como en Euler.

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