Por que o pêndulo de Euler sobe mais alto e ganha energia?

É um artefato numérico. O Euler explícito é instável a longo prazo neste sistema: a extrapolação linear superestima de forma sistemática o acréscimo de ω e acrescenta energia em cada passo. No modelo conservativo a energia mecânica total é constante.

Para que serve então o método de Euler, se o RK4 é mais preciso?

Euler pede uma avaliação do lado direito por passo, contra quatro no RK4. Fica onde importam a simplicidade e um passo pequeno, e como primeiro esquema com o qual se entende a ordem. Para o Euler alcançar a precisão do RK4, h em geral precisa ficar fino demais para compensar.

O que acontece se o passo h for bem reduzido?

As duas soluções se aproximam da verdadeira e a deriva de energia do Euler, num intervalo fixo, enfraquece. O erro do Euler escala como h; o do RK4, como h⁴: nisso consiste a ordem do método.

O atrito e a massa da haste entram na conta?

Não: o fio tem massa desprezível e é inextensível, a massa é pontual e não há resistência do ar. Assim se isola o erro do esquema. Num pêndulo real a energia cairia pelo amortecimento, não subiria como no Euler.

Euler e RK4 (pêndulo)

A mesma equação não linear do pêndulo simples e o mesmo passo h: o método de Euler explícito ao lado do de Runge–Kutta de quarta ordem.

Sobre o modelo

Euler e RK4 no pêndulo simples sem a aproximação de pequenos ângulos: θ″ = −(g/L) sin θ. Não há solução analítica em funções elementares, por isso comparam-se dois métodos numéricos no mesmo problema de Cauchy. A equação de segunda ordem vira o sistema θ′ = ω, ω′ = −(g/L) sin θ. O método de Euler explícito dá um passo linear: θ ← θ + hω, ω ← ω + h a(θ). O de Runge–Kutta de quarta ordem (RK4) toma quatro inclinações intermediárias e deixa erro local de ordem h⁵. Não há atrito nem massa da haste: o sistema é conservativo e a energia total deve se conservar. Euler, com h grande, injeta energia e desloca a fase; RK4, no mesmo h, fica bem mais perto da referência. Podem-se mudar g/L, o passo h e o ângulo inicial.

Para quem: Métodos numéricos e física computacional: EDO, ordem do esquema, deriva da energia.

Conceitos-chave

integração numérica
método de Runge–Kutta
método de Euler
equação diferencial ordinária
pêndulo simples
erro de truncamento
conservação da energia
espaço de fases

Como funciona

Uma equação θ″ = −(g/L) sin θ, um ângulo inicial, um passo h. O Euler explícito atualiza θ e ω de forma linear e, com h grande, injeta energia; a fase se vai. O RK4 media quatro inclinações e fica bem mais perto da referência conservativa. Se h diminui, o Euler diverge mais tarde, mas o custo em passos cresce.

Fórmulas principais

Euler: θ += ωh, ω += a(θ)h · RK4: média em quatro estágios sobre (θ, ω)

Perguntas frequentes

Por que o pêndulo de Euler sobe mais alto e ganha energia?: É um artefato numérico. O Euler explícito é instável a longo prazo neste sistema: a extrapolação linear superestima de forma sistemática o acréscimo de ω e acrescenta energia em cada passo. No modelo conservativo a energia mecânica total é constante.
Para que serve então o método de Euler, se o RK4 é mais preciso?: Euler pede uma avaliação do lado direito por passo, contra quatro no RK4. Fica onde importam a simplicidade e um passo pequeno, e como primeiro esquema com o qual se entende a ordem. Para o Euler alcançar a precisão do RK4, h em geral precisa ficar fino demais para compensar.
O que acontece se o passo h for bem reduzido?: As duas soluções se aproximam da verdadeira e a deriva de energia do Euler, num intervalo fixo, enfraquece. O erro do Euler escala como h; o do RK4, como h⁴: nisso consiste a ordem do método.
O atrito e a massa da haste entram na conta?: Não: o fio tem massa desprezível e é inextensível, a massa é pontual e não há resistência do ar. Assim se isola o erro do esquema. Num pêndulo real a energia cairia pelo amortecimento, não subiria como no Euler.

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