¿Por qué el esquema upwind emborrona el pulso?

Con velocidad positiva el upwind reemplaza la derivada por una diferencia sesgada hacia atrás. En la ecuación modificada aparece un término de difusión artificial proporcional a (1 − ν)Δx, así que los saltos se apagan y se ensanchan en vez de transportarse exactos.

¿Por qué Lax-Wendroff y MacCormack dan picos cerca de los saltos?

Son esquemas de segundo orden, con menos difusión. Cerca de un salto las componentes de alta frecuencia reciben errores de fase: oscilaciones dispersivas. El mismo conflicto entre monotonía y alta exactitud lo resuelven los limitadores de variación total y los esquemas modernos de alta resolución.

¿Qué significa aquí el número de Courant ν?

ν = cΔt/Δx es cuántas celdas recorre la información en un paso de tiempo. Para estos esquemas explícitos de advección lineal la región básica de estabilidad es más o menos ν ≤ 1. Si ν es mayor, el dominio de dependencia numérico no alcanza a la ecuación.

Esquemas de advección: upwind / Lax-Wendroff / MacCormack

Advección lineal u_t + c u_x = 0 en una malla periódica: difusión del esquema upwind, oscilaciones dispersivas de Lax-Wendroff y MacCormack, traslación exacta del pulso, error L2 y número de Courant ν.

Sobre el modelo

Los esquemas de advección para la ecuación lineal u_t + c u_x = 0 con velocidad constante en una malla unidimensional periódica se juzgan contra la solución exacta — el corrimiento del pulso inicial —, así que los artefactos numéricos se ven de inmediato. El esquema upwind de primer orden toma el valor de aguas arriba y es monótono si ν = cΔt/Δx ≤ 1, pero mete difusión numérica: los pulsos rectangulares se emborronan. El esquema de Lax-Wendroff añade una corrección de segundo orden y sostiene mejor el frente, pero en los saltos da oscilaciones dispersivas — sobrepaso y valles. El esquema de MacCormack (predictor-corrector) para ondas suaves es también de segundo orden y con oscilaciones parecidas en frentes abruptos. Los tres esquemas corren en paralelo; encima va la traslación exacta; abajo, el error punto a punto.

Para quién: Métodos numéricos para ecuaciones de advección: condición de Courant, monotonía y esquemas de segundo orden.

Conceptos clave

advección lineal
esquema upwind
esquema de Lax-Wendroff
esquema de MacCormack
condición de Courant
difusión numérica
dispersión numérica
diferencias finitas

Cómo funciona

u_t + c u_x = 0 en una malla 1D periódica: el punteado blanco es la traslación exacta del pulso. El upwind es monótono, pero emborrona; Lax-Wendroff y MacCormack, de segundo orden, son más nítidos en zonas suaves, pero cerca de los saltos dan oscilaciones dispersivas. El control ν = cΔt/Δx muestra el tope CFL ≤ 1.

Fórmulas principales

u_t + c u_x = 0, ν = cΔt/Δx. Upwind: u_i^{n+1}=u_i^n−ν(u_i^n−u_{i−1}^n). Lax-Wendroff adds (ν²/2)(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1}); MacCormack uses predictor-corrector. Stable range here: roughly ν ≤ 1.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el esquema upwind emborrona el pulso?: Con velocidad positiva el upwind reemplaza la derivada por una diferencia sesgada hacia atrás. En la ecuación modificada aparece un término de difusión artificial proporcional a (1 − ν)Δx, así que los saltos se apagan y se ensanchan en vez de transportarse exactos.
¿Por qué Lax-Wendroff y MacCormack dan picos cerca de los saltos?: Son esquemas de segundo orden, con menos difusión. Cerca de un salto las componentes de alta frecuencia reciben errores de fase: oscilaciones dispersivas. El mismo conflicto entre monotonía y alta exactitud lo resuelven los limitadores de variación total y los esquemas modernos de alta resolución.
¿Qué significa aquí el número de Courant ν?: ν = cΔt/Δx es cuántas celdas recorre la información en un paso de tiempo. Para estos esquemas explícitos de advección lineal la región básica de estabilidad es más o menos ν ≤ 1. Si ν es mayor, el dominio de dependencia numérico no alcanza a la ecuación.

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