Por que o esquema upwind espalha o pulso?

Com velocidade positiva o upwind troca a derivada por uma diferença deslocada para trás. Na equação modificada aparece um termo de difusão artificial proporcional a (1 − ν)Δx, de modo que as descontinuidades se amortecem e se alargam em vez de se transladarem com exatidão.

Por que Lax–Wendroff e MacCormack dão picos perto dos saltos?

São esquemas de segunda ordem, com menos difusão. Perto de uma descontinuidade as componentes de alta frequência ganham erros de fase, e isso produz oscilações dispersivas. Os limitadores TVD e os esquemas modernos de alta resolução tratam esse mesmo conflito entre monotonicidade e alta precisão.

O que significa aqui o número de Courant ν?

ν = cΔt/Δx é quantas células a informação percorre num passo de tempo. Para esses esquemas explícitos de advecção linear a região básica de estabilidade é cerca de ν ≤ 1. Se ν é maior, o domínio de dependência numérico não acompanha a equação.

Esquemas de advecção

Advecção linear u_t + c u_x = 0 numa malha periódica: difusão do upwind, oscilações dispersivas de Lax–Wendroff e MacCormack, translação exata do pulso, erro L2 e número de Courant ν.

Sobre o modelo

Os esquemas de advecção resolvem o transporte linear u_t + c u_x = 0 com velocidade constante numa malha unidimensional periódica: a solução exata é a translação do pulso inicial, por isso os artefatos numéricos saltam à vista. O esquema upwind de primeira ordem toma o valor a montante e é monótono se ν = cΔt/Δx ≤ 1, mas introduz difusão numérica: pulsos retangulares se espalham. O esquema de Lax–Wendroff acrescenta uma correção de segunda ordem e segura melhor a frente, mas nas descontinuidades dá oscilações dispersivas — sobressinal e subssinal. O esquema de MacCormack (preditor–corretor) também é de segunda ordem em ondas suaves e tem oscilações parecidas nas frentes nítidas. Os três esquemas correm em paralelo; por cima vai a translação exata e, embaixo, o erro pontual.

Para quem: Métodos numéricos para equações de advecção: condição de Courant, monotonicidade e esquemas de segunda ordem.

Conceitos-chave

advecção linear
esquema upwind
esquema de Lax–Wendroff
esquema de MacCormack
condição de Courant
difusão numérica
dispersão numérica
diferenças finitas

Como funciona

u_t + c u_x = 0 numa malha 1D periódica: o tracejado branco é a translação exata do pulso. O upwind é monótono, mas espalha; Lax–Wendroff e MacCormack são de segunda ordem e mais nítidos no suave, mas perto das descontinuidades dão oscilações dispersivas. O controle ν = cΔt/Δx mostra o limite CFL ≤ 1.

Fórmulas principais

u_t + c u_x = 0, ν = cΔt/Δx. Upwind: u_i^{n+1}=u_i^n−ν(u_i^n−u_{i−1}^n). Lax-Wendroff adds (ν²/2)(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1}); MacCormack uses predictor-corrector. Stable range here: roughly ν ≤ 1.

Perguntas frequentes

Por que o esquema upwind espalha o pulso?: Com velocidade positiva o upwind troca a derivada por uma diferença deslocada para trás. Na equação modificada aparece um termo de difusão artificial proporcional a (1 − ν)Δx, de modo que as descontinuidades se amortecem e se alargam em vez de se transladarem com exatidão.
Por que Lax–Wendroff e MacCormack dão picos perto dos saltos?: São esquemas de segunda ordem, com menos difusão. Perto de uma descontinuidade as componentes de alta frequência ganham erros de fase, e isso produz oscilações dispersivas. Os limitadores TVD e os esquemas modernos de alta resolução tratam esse mesmo conflito entre monotonicidade e alta precisão.
O que significa aqui o número de Courant ν?: ν = cΔt/Δx é quantas células a informação percorre num passo de tempo. Para esses esquemas explícitos de advecção linear a região básica de estabilidade é cerca de ν ≤ 1. Se ν é maior, o domínio de dependência numérico não acompanha a equação.

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