Pourquoi deux rectangles donnent-ils un trapèze ou un triangle ?

La valeur à chaque τ est l’aire de recouvrement. Tant que les impulsions s’engagent l’une sur l’autre, l’aire croît linéairement ; sur le recouvrement complet elle forme un plateau, puis elle redescend linéairement. Si les largeurs sont égales, le plateau se réduit à un point et l’on obtient un triangle.

Qu’est-ce que le paramètre de décalage τ ?

C’est le retard relatif. Dans l’intégrale, g(τ − t) est la copie retournée et décalée de g(t). En changeant τ, on fait glisser cette copie le long de f(t) immobile ; la sortie (f∗g)(τ) est l’aire de recouvrement à ce retard.

À quoi cela sert-il en traitement du signal ?

Un rectangle modèle une fenêtre de moyenne de durée finie. La convolution avec une telle fenêtre lisse les oscillations rapides — intégrale glissante élémentaire. De là, on passe aux filtres et à la réponse impulsionnelle d’un système linéaire.

En quoi la convolution continue diffère-t-elle de la convolution discrète ?

Ici l’on intègre une aire sur l’axe t. En traitement numérique, on somme des produits d’échantillons. Les rectangles idéaux sans bruit sont une simplification pédagogique ; les signaux réels sont rarement tels.

Convolution d’impulsions rectangulaires

Deux impulsions rectangulaires de hauteur unitaire : la convolution (f∗g)(τ) est l’aire de recouvrement au décalage τ. À τ = 0, à l’écran — la longueur de l’intersection.

À propos du modèle

La convolution d’impulsions rectangulaires mesure le recouvrement lorsqu’une fonction est retournée et glissée le long de l’autre : (f∗g)(τ) = ∫ f(t) g(τ − t) dt. Le paramètre τ est le décalage relatif ; g est retournée puis glisse sur l’axe t, l’intégrale donne l’aire de recouvrement. Pour deux rectangles de hauteur unitaire, cette aire est la longueur de l’intersection. La convolution de rectangles de largeurs A et B donne un trapèze (un triangle si A = B) ; la largeur du support vaut A + B. Image pédagogique du lissage et des systèmes linéaires stationnaires : impulsions idéales sans bruit, temps continu, fronts raides. En probabilités, la même opération additionne des variables indépendantes ; en physique, elle donne la réponse à une entrée lorsque la réponse impulsionnelle est connue.

Public : Signaux et systèmes, systèmes linéaires, transformations intégrales.

Notions clés

convolution
intégrale de convolution
impulsion rectangulaire
paramètre de décalage
aire de recouvrement
système linéaire stationnaire
réponse trapézoïdale

Comment ça marche

La convolution (f∗g)(τ) = ∫ f(t) g(τ − t) dt mesure le recouvrement lorsqu’on retourne et décale une fonction. Pour des rectangles de hauteur unitaire, l’intégrale égale la longueur de l’intersection. À l’écran, à τ = 0, cette longueur est en vert ; les largeurs des impulsions et le décalage de g se règlent aux curseurs.

Questions fréquentes

Pourquoi deux rectangles donnent-ils un trapèze ou un triangle ?: La valeur à chaque τ est l’aire de recouvrement. Tant que les impulsions s’engagent l’une sur l’autre, l’aire croît linéairement ; sur le recouvrement complet elle forme un plateau, puis elle redescend linéairement. Si les largeurs sont égales, le plateau se réduit à un point et l’on obtient un triangle.
Qu’est-ce que le paramètre de décalage τ ?: C’est le retard relatif. Dans l’intégrale, g(τ − t) est la copie retournée et décalée de g(t). En changeant τ, on fait glisser cette copie le long de f(t) immobile ; la sortie (f∗g)(τ) est l’aire de recouvrement à ce retard.
À quoi cela sert-il en traitement du signal ?: Un rectangle modèle une fenêtre de moyenne de durée finie. La convolution avec une telle fenêtre lisse les oscillations rapides — intégrale glissante élémentaire. De là, on passe aux filtres et à la réponse impulsionnelle d’un système linéaire.
En quoi la convolution continue diffère-t-elle de la convolution discrète ?: Ici l’on intègre une aire sur l’axe t. En traitement numérique, on somme des produits d’échantillons. Les rectangles idéaux sans bruit sont une simplification pédagogique ; les signaux réels sont rarement tels.

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