Qu’a de particulier le point −1 ?

Les pôles en boucle fermée sont les racines de 1 + L(s) = 0 : donc L = −1 est la frontière de stabilité d’une boucle à retour unitaire. Le diagramme montre si L(jω) s’approche de ce point et s’il l’entoure. L’origine, c’est L = 0, pas le point critique.

Un passage dans le demi-plan gauche signifie-t-il toujours l’instabilité ?

Non. Il faut le nombre de tours autour du point −1, compte tenu des pôles en boucle ouverte dans le demi-plan droit (critère de Nyquist), et non le signe de Re{L}. La courbe peut entrer à gauche et rester stable si elle reste loin de −1 et si le nombre de tours est le bon.

Comment lit-on les marges de gain et de phase sur le diagramme ?

La marge de gain est l’éloignement de la courbe par rapport à −1 lorsqu’elle coupe l’axe réel négatif. La marge de phase est l’angle depuis −1 lorsque |L| = 1. Les deux mesurent autrement la « distance » au point critique.

Diagramme de Nyquist

Fonction de transfert en boucle ouverte L(jω) dans le plan complexe ; point critique −1 et distance à ce point.

À propos du modèle

Le diagramme de Nyquist est l’image de la fonction de transfert en boucle ouverte L(jω) dans le plan complexe, lorsque ω va de zéro à l’infini. La stabilité de la boucle fermée à retour unitaire est liée au point −1 : les pôles en boucle fermée sont les racines de 1 + L(s) = 0. La marge de gain mesure l’éloignement de la courbe par rapport à −1 sur l’axe réel négatif ; la marge de phase est l’angle lorsque |L| = 1. Le nombre de tours autour de −1, compte tenu des pôles en boucle ouverte dans le demi-plan droit, constitue le critère de Nyquist. Système linéaire stationnaire à une seule boucle : ni multivariable, ni non linéaire.

Public : Automatique de licence : diagramme de Nyquist, marges de stabilité.

Notions clés

diagramme de Nyquist
fonction de transfert en boucle ouverte
point critique −1
marge de gain
marge de phase
critère de Nyquist

Comment ça marche

Le critère de Nyquist examine comment le lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte L(jω) tourne autour du point critique −1 dans le plan complexe. La marge de gain est l’éloignement de la courbe par rapport à −1 sur l’axe réel négatif ; la marge de phase est l’angle lorsque |L| = 1. À l’écran : la courbe L(jω) et la distance à −1. Boucle linéaire unique, sans systèmes multivariables ni non linéaires.

Formules

LP1: L = 1/(1 + jωτ)

HP1: L = jωτ/(1 + jωτ)

Integrator: L = K/(jω)

2nd LP: L = ωₙ² / ((jω)² + 2ζωₙ(jω) + ωₙ²)

Questions fréquentes

Qu’a de particulier le point −1 ?: Les pôles en boucle fermée sont les racines de 1 + L(s) = 0 : donc L = −1 est la frontière de stabilité d’une boucle à retour unitaire. Le diagramme montre si L(jω) s’approche de ce point et s’il l’entoure. L’origine, c’est L = 0, pas le point critique.
Un passage dans le demi-plan gauche signifie-t-il toujours l’instabilité ?: Non. Il faut le nombre de tours autour du point −1, compte tenu des pôles en boucle ouverte dans le demi-plan droit (critère de Nyquist), et non le signe de Re{L}. La courbe peut entrer à gauche et rester stable si elle reste loin de −1 et si le nombre de tours est le bon.
Comment lit-on les marges de gain et de phase sur le diagramme ?: La marge de gain est l’éloignement de la courbe par rapport à −1 lorsqu’elle coupe l’axe réel négatif. La marge de phase est l’angle depuis −1 lorsque |L| = 1. Les deux mesurent autrement la « distance » au point critique.

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