En quoi SIRS diffère-t-il de SEIR ?

SEIR ajoute une classe latente E avant la contagiosité. Ici trois groupes plus le déclin de l’immunité, les rappels et un β(t) saisonnier ; l’équilibre endémique s’écrit explicitement.

Que fait une impulsion de rappel ?

À des instants donnés, une fraction des susceptibles passe dans R, comme après une campagne de vaccination. La vitesse de déclin ω ne change pas — seule la protection actuelle est modifiée.

Quand existe-t-il un équilibre endémique ?

À β constant, un état endémique I*>0 existe si R0>1 et ω>0. Si l’immunité est définitive (ω=0), après l’épidémie I→0, comme dans le SIR classique.

SIRS à immunité déclinante

Modèle SIRS : déclin de l’immunité ω (R→S), doses de rappel, β(t) saisonnier, équilibre endémique et R0.

Cas

Vitesses SIRS (N = 1, temps en jours)

β₀ (transmission de base)0.4 /d

γ (guérison)0.2 /d

ω (déclin R→S)0.01 /d

ε (amplitude saisonnière)0

T (période saisonnière)365 d

I(0) infectieux initiaux0.02

R(0) rétablis initiaux0

Trois compartiments seulement : S+I+R=1, sans classe latente E. Le déclin ωR→S maintient l’endémie si ℛ₀>1. Le β(t) saisonnier module la transmission ; les rappels transfèrent instantanément une fraction de S vers R. La réinitialisation applique les nouveaux I(0) et R(0).

Impulsions de rappel

Activer les rappels périodiques

Couverture du rappel0.25

Période du rappel365 d

Raccourcis clavier

Espace ou Entrée — lecture / pause
R — réinitialiser la série temporelle

Mesures

ℛ₀ = β₀/γ2.000

S* = 1/ℛ₀0.500

I* endémie0.0238

S (maintenant)0.980

I (maintenant)0.0200

R (maintenant)0.000

pic I0.0200

temps0.0 j

À propos du modèle

Le SIRS à immunité déclinante : après une infection, la protection s’affaiblit souvent et le sujet redevient susceptible — les épidémies peuvent se répéter et la maladie rester endémique. La population est partagée en fractions de susceptibles S, d’infectieux I et d’immunisés R, avec S+I+R = 1. La contamination va par le terme β(t)SI, la guérison par γI, le retour vers S à la vitesse ω. Saisonnalité : β(t) = β0(1 + ε sin(2πt/T)) ; une campagne de rappel fait passer instantanément une fraction des susceptibles vers R. À β constant, si R0 = β0/γ > 1 et ω > 0, il existe un état endémique S* = 1/R0, I* = ω(1 − 1/R0)/(ω + γ) ; sinon l’épidémie s’éteint. Il n’y a pas de classe latente E — c’est déjà le modèle SEIR.

Public : Épidémiologie et biologie mathématique : déclin de l’immunité, saisonnalité, endémie.

Notions clés

modèle SIRS
déclin de l’immunité
vaccination de rappel
saisonnalité
équilibre endémique
nombre de reproduction de base
immunité collective

Comment ça marche

SIRS sans classe latente E : trois fractions S+I+R=1. Contamination β(t)SI, guérison γI, déclin de l’immunité ωR→S. Saisonnalité β(t)=β₀(1+ε sin(2πt/T)) de période T en jours. À β constant, ℛ₀=β₀/γ>1 et ω>0 donnent l’endémie **S*=1/ℛ₀, I*=ω(1−1/ℛ₀)/(ω+γ) ; si ℛ₀≤1 ou ω=0, alors I*=0 (extinction ou une seule épidémie SIR). Un rappel aux instants k·T_boost transfère instantanément Δ=couverture·S de S vers R. Intégrateur RK4 avec renormalisation S+I+R=1**.

Formules

S' = −β(t) S I + ω R

I' = β(t) S I − γ I

R' = γ I − ω R

β(t) = β₀ (1 + ε sin(2π t / T))

ℛ₀ = β₀/γ · S* = 1/ℛ₀ · I* = ω(1 − 1/ℛ₀)/(ω+γ) (ε=0, ω>0, ℛ₀>1 ; sinon I*=0)

Questions fréquentes

En quoi SIRS diffère-t-il de SEIR ?: SEIR ajoute une classe latente E avant la contagiosité. Ici trois groupes plus le déclin de l’immunité, les rappels et un β(t) saisonnier ; l’équilibre endémique s’écrit explicitement.
Que fait une impulsion de rappel ?: À des instants donnés, une fraction des susceptibles passe dans R, comme après une campagne de vaccination. La vitesse de déclin ω ne change pas — seule la protection actuelle est modifiée.
Quand existe-t-il un équilibre endémique ?: À β constant, un état endémique I*>0 existe si R0>1 et ω>0. Si l’immunité est définitive (ω=0), après l’épidémie I→0, comme dans le SIR classique.

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