Worin unterscheidet sich SIRS von SEIR?

SEIR fügt vor der Ansteckungsfähigkeit die latente Klasse E hinzu. Hier sind drei Gruppen plus Nachlassen der Immunität, Auffrischungen und saisonales β(t); das endemische Gleichgewicht steht geschlossen da.

Was bewirkt der Auffrischungsimpuls?

Zu festgelegten Zeiten geht ein Anteil der Empfänglichen nach R, wie nach einer Impfkampagne. Die Nachlassrate ω ändert sich nicht — nur der aktuelle Schutz.

Wann gibt es ein endemisches Gleichgewicht?

Bei konstantem β existiert die Endemie I*>0, wenn R0>1 und ω>0. Bei dauerhafter Immunität (ω=0) geht I nach dem Ausbruch gegen 0, wie im klassischen SIR-Modell.

SIRS mit nachlassender Immunität

SIRS-Modell: Nachlassen der Immunität ω (R→S), Auffrischdosen, saisonales β(t), endemisches Gleichgewicht und R0.

Vorlagen

SIRS-Raten (N = 1, Zeit in Tagen)

β₀ (Grundübertragung)0.4 /d

γ (Genesung)0.2 /d

ω (Nachlassen R→S)0.01 /d

ε (Amplitude der Saisonalität)0

T (saisonale Periode)365 d

I(0) anfänglich Infizierte0.02

R(0) anfänglich Genesene0

Nur drei Kompartimente: S+I+R=1, ohne latentes E. Das Nachlassen ωR→S hält die Endemie bei ℛ₀>1. Saisonales β(t) moduliert die Übertragung; Auffrischungen tragen instantan einen Anteil von S nach R. Zurücksetzen übernimmt neue I(0) und R(0).

Auffrischungsimpulse

Periodische Auffrischungen einschalten

Abdeckung der Auffrischung0.25

Periode der Auffrischung365 d

Tastenkürzel

Leertaste oder Enter — Start / Pause
R — Zeitreihe zurücksetzen

Gemessene Größen

ℛ₀ = β₀/γ2.000

S* = 1/ℛ₀0.500

I* Endemie0.0238

S (jetzt)0.980

I (jetzt)0.0200

R (jetzt)0.000

Maximum I0.0200

Zeit0.0 d

Zum Modell

SIRS mit nachlassender Immunität: nach der Infektion werden Genesene wieder empfänglich, Ausbrüche können sich wiederholen, die Krankheit endemisch bleiben. Das Modell teilt die Bevölkerung in Anteile Empfängliche S, Infizierte I und Immune R, S+I+R = 1. Infektion läuft über β(t)SI, Genesung über γI, Rückkehr nach S mit Rate ω. Saisonalität: β(t) = β0(1 + ε sin(2πt/T)); eine Auffrischkampagne überführt instantan einen Anteil der Empfänglichen nach R. Bei konstantem β, R0 = β0/γ > 1 und ω > 0 gibt es Endemie S* = 1/R0, I* = ω(1 − 1/R0)/(ω + γ); sonst klingt der Ausbruch ab. Eine latente Klasse E fehlt — das wäre bereits SEIR.

Für wen: Epidemiologie und mathematische Biologie: nachlassende Immunität, Saisonalität, Endemie.

Wichtige Begriffe

sirs-modell
nachlassende immunität
auffrischimpfung
saisonalität
endemisches gleichgewicht
basisreproduktionszahl
herdenimmunität

So funktioniert es

SIRS ohne latentes E: drei Anteile S+I+R=1. Infektion β(t)SI, Genesung γI, Nachlassen der Immunität ωR→S. Saisonalität β(t)=β₀(1+ε sin(2πt/T)) mit Periode T in Tagen. Bei konstantem β, ℛ₀=β₀/γ>1 und ω>0 gibt es Endemie **S*=1/ℛ₀, I*=ω(1−1/ℛ₀)/(ω+γ); wenn ℛ₀≤1 oder ω=0, dann I*=0 (Abklingen oder ein SIR-Ausbruch). Die Auffrischung zu den Zeiten k·T_boost überträgt instantan Δ=Abdeckung·S von S nach R. Integrator RK4 mit Renormierung S+I+R=1**.

Wichtige Gleichungen

S' = −β(t) S I + ω R

I' = β(t) S I − γ I

R' = γ I − ω R

β(t) = β₀ (1 + ε sin(2π t / T))

ℛ₀ = β₀/γ · S* = 1/ℛ₀ · I* = ω(1 − 1/ℛ₀)/(ω+γ) (ε=0, ω>0, ℛ₀>1; sonst I*=0)

Häufige Fragen

Worin unterscheidet sich SIRS von SEIR?: SEIR fügt vor der Ansteckungsfähigkeit die latente Klasse E hinzu. Hier sind drei Gruppen plus Nachlassen der Immunität, Auffrischungen und saisonales β(t); das endemische Gleichgewicht steht geschlossen da.
Was bewirkt der Auffrischungsimpuls?: Zu festgelegten Zeiten geht ein Anteil der Empfänglichen nach R, wie nach einer Impfkampagne. Die Nachlassrate ω ändert sich nicht — nur der aktuelle Schutz.
Wann gibt es ein endemisches Gleichgewicht?: Bei konstantem β existiert die Endemie I*>0, wenn R0>1 und ω>0. Bei dauerhafter Immunität (ω=0) geht I nach dem Ausbruch gegen 0, wie im klassischen SIR-Modell.

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