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Accueil/Biophysique, fluides et géosciences/Seuil vaccinal dans le modèle SIR

Seuil vaccinal dans le modèle SIR

Seuil d’immunité collective : R_eff = R0(1−v), épidémies SIR, pic d’infectés et taille finale selon la couverture vaccinale.

SIR et vaccination

2.7
0.18 1/d
0.42
0.004

Mesures

R_eff1.566
Seuil collectif63.0%
Pic d’infectés4.63%
Taille de l’épidémie35.17%

Les vaccinés commencent dans R. Le seuil est une idéalisation de population homogène, pas une garantie contre les flambées en grappes.

Graphiques

À propos du modèle

Le seuil vaccinal dans le modèle SIR : l’épidémie ne se maintient pas si la fraction d’immuns est assez grande — le nombre moyen de contaminations secondaires tombe au-dessous de un. Les vaccinés sont, dès t = 0, dans la classe des immuns R ; pour les autres, les équations habituelles : contamination βSI, guérison γI. Le nombre de reproduction effectif est R_eff = R0(1 − v) ; le seuil d’immunité collective est v_c = 1 − 1/R0. Les graphiques montrent les fractions S, I, R et la taille finale de l’épidémie en fonction de la couverture : au-dessus du seuil, l’épidémie ne se développe pas ; en dessous restent le pic d’infectés et la fraction déjà malade. La population est homogène et le vaccin protège entièrement.

Public : Épidémiologie et biologie mathématique : modèle SIR, immunité collective, couverture vaccinale.

Notions clés

  • modèle SIR
  • immunité collective
  • nombre de reproduction effectif
  • nombre de reproduction de base
  • taille finale de l’épidémie
  • couverture vaccinale

Comment ça marche

Dans le modèle SIR, la vaccination place d’emblée la fraction v dans la classe des immuns. La fraction de susceptibles tombe alors à 1−v, et le nombre de reproduction effectif devient R_eff=R0(1−v). Le seuil idéal d’immunité collective suit de R_eff<1 : v_c=1−1/R0.

Formules

Ṡ = −βSI, İ = βSI − γI, Ṙ = γI
R_eff = R0(1−v), seuil collectif v_c = 1 − 1/R0

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le seuil d’immunité collective ?
Dans le SIR homogène, c’est la fraction d’immuns v_c = 1 − 1/R0 pour laquelle R_eff tombe au-dessous de un et l’épidémie ne se maintient pas. Pour R0 = 3, le seuil vaut 2/3. C’est une moyenne sur la population, pas une garantie d’absence d’introductions.
Pourquoi la vaccination diminue-t-elle R_eff ?
Les vaccinés sortent de l’ensemble des cibles possibles de la transmission. Si la couverture vaut v, la fraction de susceptibles au départ vaut 1 − v, d’où R_eff = R0(1 − v).
Le seuil garantit-il qu’il n’y aura aucun cas ?
Non. C’est la condition pour que le nombre moyen de cas secondaires soit inférieur à un. Des introductions, des contacts hétérogènes et des grappes de non-vaccinés peuvent encore donner des flambées locales.