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Accueil/Biophysique, fluides et géosciences/Seuil vaccinal dans le modèle SIR

Seuil vaccinal dans le modèle SIR

Seuil d’immunité collective : R_eff = R0(1−v), épidémies SIR, pic d’infectés et taille finale selon la couverture vaccinale.

Les vaccinés commencent dans R. Le seuil est une idéalisation de population homogène, pas une garantie contre les flambées en grappes.

SIR et vaccination

2.7
0.18 1/d
0.42
0.004

Mesures

R_eff1.566
Seuil collectif63.0%
Pic d’infectés4.63%
Taille de l’épidémie35.17%

Graphiques

À propos du modèle

Le seuil vaccinal dans le modèle SIR : l’épidémie ne se maintient pas si la fraction d’immuns est assez grande — le nombre moyen de contaminations secondaires tombe au-dessous de un. Les vaccinés sont, dès t = 0, dans la classe des immuns R ; pour les autres, les équations habituelles : contamination βSI, guérison γI. Le nombre de reproduction effectif est R_eff = R0(1 − v) ; le seuil d’immunité collective est v_c = 1 − 1/R0. Les graphiques montrent les fractions S, I, R et la taille finale de l’épidémie en fonction de la couverture : au-dessus du seuil, l’épidémie ne se développe pas ; en dessous restent le pic d’infectés et la fraction déjà malade. La population est homogène et le vaccin protège entièrement.

Public : Épidémiologie et biologie mathématique : modèle SIR, immunité collective, couverture vaccinale.

Notions clés

  • modèle SIR
  • immunité collective
  • nombre de reproduction effectif
  • nombre de reproduction de base
  • taille finale de l’épidémie
  • couverture vaccinale

Comment ça marche

Dans le modèle SIR, la vaccination place d’emblée la fraction v dans la classe des immuns. La fraction de susceptibles tombe alors à 1−v, et le nombre de reproduction effectif devient R_eff=R0(1−v). Le seuil idéal d’immunité collective suit de R_eff<1 : v_c=1−1/R0.

Formules

Ṡ = −βSI, İ = βSI − γI, Ṙ = γI
R_eff = R0(1−v), seuil collectif v_c = 1 − 1/R0

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le seuil d’immunité collective ?
Dans le SIR homogène, c’est la fraction d’immuns v_c = 1 − 1/R0 pour laquelle R_eff tombe au-dessous de un et l’épidémie ne se maintient pas. Pour R0 = 3, le seuil vaut 2/3. C’est une moyenne sur la population, pas une garantie d’absence d’introductions.
Pourquoi la vaccination diminue-t-elle R_eff ?
Les vaccinés sortent de l’ensemble des cibles possibles de la transmission. Si la couverture vaut v, la fraction de susceptibles au départ vaut 1 − v, d’où R_eff = R0(1 − v).
Le seuil garantit-il qu’il n’y aura aucun cas ?
Non. C’est la condition pour que le nombre moyen de cas secondaires soit inférieur à un. Des introductions, des contacts hétérogènes et des grappes de non-vaccinés peuvent encore donner des flambées locales.