Em que o SIRS difere do SEIR?

O SEIR acrescenta a classe latente E antes da infectividade. Aqui há três grupos mais a imunidade decrescente, as doses de reforço e um β(t) sazonal; o equilíbrio endêmico se escreve de forma explícita.

O que faz o pulso de reforço?

Em instantes dados, uma fração de suscetíveis passa a R, como depois de uma campanha de vacinação. A taxa ω não muda: muda só a proteção atual.

Quando há equilíbrio endêmico?

Com β constante, a endemia I*>0 existe se R0>1 e ω>0. Com imunidade permanente (ω=0), depois do surto I→0, como no SIR clássico.

SIRS com imunidade decrescente

Modelo SIRS: imunidade decrescente ω (R→S), doses de reforço, β(t) sazonal, equilíbrio endêmico e R0.

Predefinições

Taxas SIRS (N = 1, tempo em dias)

β₀ (transmissão de base)0.4 /d

γ (recuperação)0.2 /d

ω (queda R→S)0.01 /d

ε (amplitude sazonal)0

T (período sazonal)365 d

I(0) infectados iniciais0.02

R(0) recuperados iniciais0

Só três compartimentos: S+I+R=1, sem classe latente E. A queda ωR→S sustenta a endemia se ℛ₀>1. O β(t) sazonal modula a transmissão; os reforços passam de uma vez uma fração de S a R. Reiniciar aplica os novos I(0) e R(0).

Pulsos de reforço

Ativar reforços periódicos

Cobertura do reforço0.25

Período do reforço365 d

Atalhos de teclado

Espaço ou Enter — reproduzir / pausar
R — reiniciar a série temporal

Grandezas medidas

ℛ₀ = β₀/γ2.000

S* = 1/ℛ₀0.500

I* endemia0.0238

S (agora)0.980

I (agora)0.0200

R (agora)0.000

pico de I0.0200

tempo0.0 d

Sobre o modelo

No modelo SIRS com imunidade decrescente, quem já adoeceu volta a ser suscetível: os surtos podem se repetir e a doença ficar endêmica. A população se parte em frações de suscetíveis S, infectados I e imunes R, com S+I+R = 1. O contágio vai com o termo β(t)SI, a recuperação com γI e o retorno a S com a taxa ω. A sazonalidade: β(t) = β0(1 + ε sin(2πt/T)); uma campanha de reforço passa de uma vez uma fração de suscetíveis a R. Com β constante, R0 = β0/γ > 1 e ω > 0 há endemia S* = 1/R0, I* = ω(1 − 1/R0)/(ω + γ); senão o surto se apaga. Não há classe latente E: isso já é o modelo SEIR.

Para quem: Epidemiologia e biologia matemática: imunidade decrescente, sazonalidade, endemia.

Conceitos-chave

modelo SIRS
imunidade decrescente
vacinação de reforço
sazonalidade
equilíbrio endêmico
número básico de reprodução
imunidade coletiva

Como funciona

SIRS sem classe latente E: três frações S+I+R=1. Contágio β(t)SI, recuperação γI, imunidade decrescente ωR→S. Sazonalidade β(t)=β₀(1+ε sin(2πt/T)) com período T em dias. Com β constante, ℛ₀=β₀/γ>1 e ω>0 há endemia **S*=1/ℛ₀, I*=ω(1−1/ℛ₀)/(ω+γ); se ℛ₀≤1 ou ω=0, então I*=0 (extinção ou um só surto SIR). O reforço nos instantes k·T_boost passa de uma vez Δ=cobertura·S de S a R. Integrador RK4 com renormalização S+I+R=1**.

Fórmulas principais

S' = −β(t) S I + ω R

I' = β(t) S I − γ I

R' = γ I − ω R

β(t) = β₀ (1 + ε sin(2π t / T))

ℛ₀ = β₀/γ · S* = 1/ℛ₀ · I* = ω(1 − 1/ℛ₀)/(ω+γ) (ε=0, ω>0, ℛ₀>1; senão I*=0)

Perguntas frequentes

Em que o SIRS difere do SEIR?: O SEIR acrescenta a classe latente E antes da infectividade. Aqui há três grupos mais a imunidade decrescente, as doses de reforço e um β(t) sazonal; o equilíbrio endêmico se escreve de forma explícita.
O que faz o pulso de reforço?: Em instantes dados, uma fração de suscetíveis passa a R, como depois de uma campanha de vacinação. A taxa ω não muda: muda só a proteção atual.
Quando há equilíbrio endêmico?: Com β constante, a endemia I*>0 existe se R0>1 e ω>0. Com imunidade permanente (ω=0), depois do surto I→0, como no SIR clássico.

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