Warum zerfließt das Paket eines kohärenten Zustands nicht wie ein freies Gauß-Paket?

Im harmonischen Oszillator sind die Niveaus äquidistant, daher kehren die relativen Phasen der Komponenten mit verschiedenem n in jeder Periode zurück. Der kohärente Zustand ist ein Gauß-Paket minimaler Unschärfe mit der Breite des Grundzustands; das rücktreibende Potential hält σ = 1/√2, während der Schwerpunkt oszilliert. Im freien Raum fehlt dieses Potential, und das Paket zerfließt.

Ist ⟨x⟩(t) wirklich genau klassisch?

Für den kohärenten Zustand im rein harmonischen Topf liefert das Ehrenfest-Theorem geschlossene Gleichungen für ⟨x⟩ und ⟨p⟩, die mit den Newtonschen Gesetzen übereinstimmen; daher fällt ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) mit der klassischen Bahn zusammen. Anharmonizität würde die quantenmechanischen Mittel von einer einzigen klassischen Trajektorie abweichen lassen.

Was geschieht bei sehr kleinem |α|?

Für |α| → 0 geht der Zustand in den Grundzustand |0⟩ über: der Schwerpunkt sitzt im Ursprung, |ψ|² ist das Vakuum-Gauß-Paket. Endliches |α| verschiebt dasselbe Paket nur auf einer größeren klassischen Ellipse; eine Schwelle, an der die Bewegung „plötzlich klassisch“ würde, gibt es nicht.

Kohärenter Zustand des harmonischen Oszillators

Gaußsches Paket des kohärenten Zustands |α⟩ im eindimensionalen harmonischen Topf: die Breite σ = 1/√2 bleibt fest, der Schwerpunkt folgt der klassischen Bahn ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α).

Zum Modell

Der kohärente Zustand |α⟩ im eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillator ist ein Gauß-Paket fester Breite σ = 1/√2 (in Einheiten ħ = m = ω = 1), dessen Schwerpunkt der klassischen Bahn ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) folgt. Daneben stehen der Punkt im Phasenraum, die Dichte |ψ(x,t)|² und die Spur ⟨x⟩(t). Das Modell ist ein reiner kohärenter Zustand im idealen harmonischen Topf: ohne Anharmonizität, Dekohärenz und Quetschung. Die Parameter |α| und φ_α setzen Bahnradius und Anfangsphase; die Paketform zerfließt nicht, der Mittelwert folgt der klassischen harmonischen Bewegung.

Für wen: Quantenmechanik und Quantenoptik im Bachelor und frühen Master: kohärente Zustände und der klassische Grenzfall des Oszillators.

Wichtige Begriffe

kohärenter Zustand
harmonischer Oszillator
Gaußsches Wellenpaket
Erwartungswert
klassische Bahn
Phasenraum

So funktioniert es

Der kohärente Zustand |α⟩ ist ein Gauß-Paket mit der Breite des Grundzustands σ = 1/√2. Der Paketschwerpunkt folgt ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α); im Phasenraum ist das ein Kreis vom Radius |α|. Die Äquidistanz der Niveaus ħω(n+½) verhindert das Zerfließen. Auf dem Bildschirm |ψ(x,t)|², die Marke in der Phasenebene und der Graph ⟨x⟩(t).

Häufige Fragen

Warum zerfließt das Paket eines kohärenten Zustands nicht wie ein freies Gauß-Paket?: Im harmonischen Oszillator sind die Niveaus äquidistant, daher kehren die relativen Phasen der Komponenten mit verschiedenem n in jeder Periode zurück. Der kohärente Zustand ist ein Gauß-Paket minimaler Unschärfe mit der Breite des Grundzustands; das rücktreibende Potential hält σ = 1/√2, während der Schwerpunkt oszilliert. Im freien Raum fehlt dieses Potential, und das Paket zerfließt.
Ist ⟨x⟩(t) wirklich genau klassisch?: Für den kohärenten Zustand im rein harmonischen Topf liefert das Ehrenfest-Theorem geschlossene Gleichungen für ⟨x⟩ und ⟨p⟩, die mit den Newtonschen Gesetzen übereinstimmen; daher fällt ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) mit der klassischen Bahn zusammen. Anharmonizität würde die quantenmechanischen Mittel von einer einzigen klassischen Trajektorie abweichen lassen.
Was geschieht bei sehr kleinem |α|?: Für |α| → 0 geht der Zustand in den Grundzustand |0⟩ über: der Schwerpunkt sitzt im Ursprung, |ψ|² ist das Vakuum-Gauß-Paket. Endliches |α| verschiebt dasselbe Paket nur auf einer größeren klassischen Ellipse; eine Schwelle, an der die Bewegung „plötzlich klassisch“ würde, gibt es nicht.

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