¿Por qué el paquete del estado coherente no se ensancha como un gaussiano libre?

En el oscilador armónico los niveles son equidistantes, así que las fases relativas de las componentes con distinto n regresan cada período. El estado coherente es un gaussiano de incertidumbre mínima con el ancho del estado fundamental; el potencial restaurador mantiene σ = 1/√2 mientras el centro oscila. En el espacio libre no hay ese potencial y el paquete se ensancha.

¿Es ⟨x⟩(t) exactamente clásico?

Para un estado coherente en un pozo puramente armónico, el teorema de Ehrenfest da ecuaciones cerradas para ⟨x⟩ y ⟨p⟩ que coinciden con las leyes de Newton, de modo que ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) coincide con la órbita clásica. La anarmonicidad haría que los promedios cuánticos se apartaran de una sola trayectoria clásica.

¿Qué ocurre si |α| es muy pequeño?

Estado coherente del oscilador armónico

Paquete gaussiano del estado coherente |α⟩ en un pozo armónico unidimensional: el ancho σ = 1/√2 es constante y el centro recorre la órbita clásica ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α).

Sobre el modelo

El estado coherente |α⟩ en el oscilador armónico cuántico unidimensional es un paquete gaussiano de ancho fijo σ = 1/√2 (en unidades ħ = m = ω = 1) cuyo centro sigue la órbita clásica ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α). Al lado: un punto en el espacio de fases, la densidad |ψ(x,t)|² y la traza ⟨x⟩(t). El modelo es un estado coherente puro en un pozo armónico ideal: sin anarmonicidad, sin decoherencia y sin compresión. Los parámetros |α| y φ_α fijan el radio de la órbita y la fase inicial; la forma del paquete no se ensancha y el promedio sigue el movimiento armónico clásico.

Para quién: Mecánica cuántica y óptica cuántica de licenciatura y comienzo de maestría: estados coherentes y el límite clásico del oscilador.

Conceptos clave

estado coherente
oscilador armónico
paquete de ondas gaussiano
valor medio
órbita clásica
espacio de fases

Cómo funciona

El estado coherente |α⟩ es un gaussiano con el ancho del estado fundamental, σ = 1/√2. El centro del paquete recorre ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α); en el espacio de fases es una circunferencia de radio |α|. La equidistancia de los niveles ħω(n+½) impide el ensanchamiento. En pantalla: |ψ(x,t)|², un marcador en el plano de fases y la gráfica ⟨x⟩(t).

Preguntas frecuentes

¿Por qué el paquete del estado coherente no se ensancha como un gaussiano libre?: En el oscilador armónico los niveles son equidistantes, así que las fases relativas de las componentes con distinto n regresan cada período. El estado coherente es un gaussiano de incertidumbre mínima con el ancho del estado fundamental; el potencial restaurador mantiene σ = 1/√2 mientras el centro oscila. En el espacio libre no hay ese potencial y el paquete se ensancha.
¿Es ⟨x⟩(t) exactamente clásico?: Para un estado coherente en un pozo puramente armónico, el teorema de Ehrenfest da ecuaciones cerradas para ⟨x⟩ y ⟨p⟩ que coinciden con las leyes de Newton, de modo que ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) coincide con la órbita clásica. La anarmonicidad haría que los promedios cuánticos se apartaran de una sola trayectoria clásica.
¿Qué ocurre si |α| es muy pequeño?: Cuando |α| → 0 el estado tiende al fundamental |0⟩: el centro en el origen y |ψ|² el gaussiano del vacío. Un |α| finito solo desplaza el mismo paquete a lo largo de una elipse clásica más grande; no hay un umbral en el que el movimiento «de pronto se vuelva clásico».

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