Warum liefert die gedackte Pfeife nur ungerade Harmonische?

Das geschlossene Ende ist ein Druckbauch, das offene ein Druckknoten. Die einfachste stehende Welle ist ein Viertel von λ. Die nächsten passenden Längen sind 3/4, 5/4, … λ, also ungerade Harmonische.

Wie nah kommt die gedackte Pfeife an eine Klarinette?

Das ist ein Modell erster Ordnung für die Klarinette und für eine Flasche, über die man bläst. Grifflöcher, Mündungskorrektur und Verluste verschieben die Frequenzen, aber das Fehlen gerader Harmonischer prägt die Klangfarbe.

Wovon hängt die Schallgeschwindigkeit ab, und wozu steht sie hier?

In Luft wächst v mit der Temperatur (etwa v ≈ 331 + 0,6 T °C m/s). Die Frequenzen sind proportional zu v, daher klingt eine warme Pfeife derselben Länge höher.

Warum steht im Diagramm der Druck und nicht die Auslenkung?

Druck und Auslenkung sind um eine Viertelperiode verschoben: Druckbauch ist Auslenkungsknoten und umgekehrt. Das geschlossene Ende liest man bequem als Druckbauch, deshalb ist p(x) gezeichnet.

Orgelpfeife

Stehende Wellen in der Luftsäule: offene Pfeife f_n = n v/(2L) und gedackte Pfeife f_n = (2n−1) v/(4L); Druckform und Obertonreihe.

Obertonreihe (gleiche L, v)

n	Bezeichnung	f (Hz)
1	Grundton (alle Harmonischen)	65.96
2	2. Harmonische	131.92
3	3. Harmonische	197.88
4	4. Harmonische	263.85
5	5. Harmonische	329.81
6	6. Harmonische	395.77
7	7. Harmonische	461.73
8	8. Harmonische	527.69

Zum Modell

Die Orgelpfeife ist eine Luftsäule mit stehenden Schallwellen. Bei der offenen Pfeife sind beide Enden Druckknoten (Schwingungsbäuche der Auslenkung); in die Länge passt eine ganze Zahl von Halbwellen: f_n = n v/(2L), n = 1, 2, 3, … — die volle Obertonreihe. Bei der gedackten Pfeife ist ein Ende Druckbauch, das andere Druckknoten: in die Länge passen ungerade Viertelwellen, f_n = (2n−1) v/(4L), nur ungerade Harmonische. Im Diagramm die Druckamplitude längs der Pfeife für die gewählte Mode und eine Tabelle der Frequenzen bei denselben L und v. Vereinfachungen: starre glatte Wände ohne Verluste, konstante Schallgeschwindigkeit, schlanke Pfeife (Mündungskorrektur nicht berücksichtigt). Länge, v und Modennummer lassen sich ändern; den Ton der Mode kann man hören.

Für wen: Oberstufe und erstes Semester: stehende Wellen in der Pfeife, Harmonische der Blasinstrumente.

Wichtige Begriffe

Orgelpfeife
stehende Welle
Obertonreihe
Grundton
Druckknoten
Druckbauch
offene Pfeife
gedackte Pfeife

So funktioniert es

Die Randbedingungen an den Enden der Pfeife wählen die stehenden Druckwellen aus. Beidseitig offen: f_n = n v/(2L), alle Harmonischen. Ein Ende geschlossen: f_n = (2n−1) v/(4L), nur ungerade. Auf dem Bildschirm die Druckform längs der Pfeife, die Tabelle der Reihe und der Ton der gewählten Mode.

Wichtige Gleichungen

Offen–offen: f_n = n v/(2L), n = 1,2,3,…

Gedackt (offen–geschlossen): f_n = (2n−1) v/(4L) — nur ungerade Harmonische relativ zum Grundton der offenen Pfeife.

Häufige Fragen

Warum liefert die gedackte Pfeife nur ungerade Harmonische?: Das geschlossene Ende ist ein Druckbauch, das offene ein Druckknoten. Die einfachste stehende Welle ist ein Viertel von λ. Die nächsten passenden Längen sind 3/4, 5/4, … λ, also ungerade Harmonische.
Wie nah kommt die gedackte Pfeife an eine Klarinette?: Das ist ein Modell erster Ordnung für die Klarinette und für eine Flasche, über die man bläst. Grifflöcher, Mündungskorrektur und Verluste verschieben die Frequenzen, aber das Fehlen gerader Harmonischer prägt die Klangfarbe.
Wovon hängt die Schallgeschwindigkeit ab, und wozu steht sie hier?: In Luft wächst v mit der Temperatur (etwa v ≈ 331 + 0,6 T °C m/s). Die Frequenzen sind proportional zu v, daher klingt eine warme Pfeife derselben Länge höher.
Warum steht im Diagramm der Druck und nicht die Auslenkung?: Druck und Auslenkung sind um eine Viertelperiode verschoben: Druckbauch ist Auslenkungsknoten und umgekehrt. Das geschlossene Ende liest man bequem als Druckbauch, deshalb ist p(x) gezeichnet.

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