Warum verdoppelt sich die Frequenz, wenn man die Saitenlänge halbiert?

Es gilt f₁ ∝ 1/L: die Wellenlänge des Grundtons ist λ = 2L. Kürzere Saite — kürzeres λ; bei gleichem c = √(T/μ) liegt die Frequenz höher. Die Verdopplung von f ist eine Oktave.

Warum wird der Ton höher, wenn man die Saite stärker spannt?

Größeres T ergibt größeres c = √(T/μ). Bei festem L bleibt die Wellenlänge des Grundtons dieselbe, also wächst f = c/λ.

Worin unterscheidet sich das Zupfen von einer reinen Harmonischen?

Ein Zupfen regt sogleich ein Gemisch von Moden an. Die reine Form der n-ten Harmonischen ist eine einzige stehende Welle mit n Bäuchen. Der Klang einer wirklichen Saite kommt gerade aus den relativen Amplituden dieser Harmonischen; hier sind sie idealisiert.

Monochord (Sonometer)

Grundton f₁ = (1/2L)√(T/μ); Harmonische, stehende Wellen, Tonhöhe.

Diagramme

Zum Modell

Das Monochord (Sonometer) ist eine Saite zwischen zwei Stegen: die Tonhöhe hängt von Länge, Saitenspannung und Liniendichte ab. Die Grundfrequenz ist f₁ = (1/2L)√(T/μ), die Harmonischen sind f_n = n f₁. Die Wellengeschwindigkeit beträgt c = √(T/μ); an festen Enden gilt λ_n = 2L/n. Die Saite gilt als biegeweich und homogen, die Enden als ideal; Biegesteifigkeit und Dämpfung in Luft fehlen. Auf dem Bildschirm stehen die Form der stehenden Welle, die Frequenz und eine konventionelle Note.

Für wen: Jahrgangsstufe 9–11 und Praktikum: stehende Wellen auf der Saite, Saitengesetz, Harmonische.

Wichtige Begriffe

Monochord
Sonometer
stehende Welle
Grundton
Harmonische
Liniendichte

So funktioniert es

Saite zwischen zwei Stegen: c = √(T/μ), f_n = n c/(2L). Ändert man L, T und μ, ändern sich Grundton und Harmonische. Auf dem Bildschirm stehen stehende Welle und Frequenz; Biegesteifigkeit und Dämpfung der Saite bleiben unberücksichtigt.

Wichtige Gleichungen

f₁ = (1/2L) √(T/μ), fₙ = n f₁, λₙ = 2L/n

Häufige Fragen

Warum verdoppelt sich die Frequenz, wenn man die Saitenlänge halbiert?: Es gilt f₁ ∝ 1/L: die Wellenlänge des Grundtons ist λ = 2L. Kürzere Saite — kürzeres λ; bei gleichem c = √(T/μ) liegt die Frequenz höher. Die Verdopplung von f ist eine Oktave.
Warum wird der Ton höher, wenn man die Saite stärker spannt?: Größeres T ergibt größeres c = √(T/μ). Bei festem L bleibt die Wellenlänge des Grundtons dieselbe, also wächst f = c/λ.
Worin unterscheidet sich das Zupfen von einer reinen Harmonischen?: Ein Zupfen regt sogleich ein Gemisch von Moden an. Die reine Form der n-ten Harmonischen ist eine einzige stehende Welle mit n Bäuchen. Der Klang einer wirklichen Saite kommt gerade aus den relativen Amplituden dieser Harmonischen; hier sind sie idealisiert.

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