Warum sind auf der fest eingespannten Saite nur Harmonische möglich?

An beiden Enden muss ein Knoten liegen. Diese Bedingung erfüllen nur die Wellenlängen λ = 2L/n, daher sind die Frequenzen diskret: f_n = n v/(2L).

Worin unterscheidet sich der Knoten vom Schwingungsbauch?

Der Knoten steht still: einfallende und reflektierte Welle löschen einander. Im Schwingungsbauch ist die Auslenkung maximal — die Wellen addieren sich in Phase.

Wie ändert die Spannung die Tonhöhe?

Größeres T — größeres v = √(T/μ) und höheres f_n = n v/(2L). So stimmt man die Gitarre: straffer die Saite — höher der Ton.

Wie nah ist das an Gitarre oder Geige?

Die Harmonische Reihe f_n = n f_1 ist die Grundlage der Saiteninstrumente. Wirkliche Saiten haben Steifigkeit und Ungleichmäßigkeit, der Korpus gibt Dämpfung und eigene Resonanzen — daher das Timbre, das im Idealmodell fehlt.

Stehende Wellen

Stehende Wellen auf der fest eingespannten Saite: Harmonische, Knoten und Schwingungsbäuche.

Zum Modell

Stehende Wellen auf der Saite entstehen durch Überlagerung zweier gleicher, entgegenlaufender Wellen. Für eine Saite der Länge L mit Liniendichte μ und Spannung T gilt die Geschwindigkeit v = √(T/μ). Feste Enden verlangen verschwindende Auslenkung: zulässig sind λ_n = 2L/n und die Frequenzen der Harmonischen f_n = n v/(2L) = n f_1. Auf dem Bildschirm sieht man Knoten (Auslenkung null) und Schwingungsbäuche (Maximum). Modell: homogene, biegeweiche Saite, starre Enden, ohne Dämpfung, Steifigkeit und Nichtlinearität.

Für wen: Oberstufe und Studienbeginn: Harmonische, Knoten und Schwingungsbäuche auf der Saite.

Wichtige Begriffe

stehende Wellen
Harmonische
Knoten
Schwingungsbauch
Grundfrequenz
Resonanz
Superposition
Randbedingung

So funktioniert es

Ideale stehende Welle auf der an beiden Enden fest eingespannten Saite: es passen nur Harmonische mit den Wellenlängen λₙ = 2L/n. Die Knoten bleiben in Ruhe; die Schwingungsbäuche schwingen mit maximaler Amplitude. Eine Änderung von n ändert die Zahl der Halbwellen.

Wichtige Gleichungen

y = A sin(nπx/L) cos(ωₙt), ωₙ = nπc/L

Knoten: x = mL/n (m = 0,…,n). Schwingungsbäuche: x = (m+½)L/n (m = 0,…,n−1).

Häufige Fragen

Warum sind auf der fest eingespannten Saite nur Harmonische möglich?: An beiden Enden muss ein Knoten liegen. Diese Bedingung erfüllen nur die Wellenlängen λ = 2L/n, daher sind die Frequenzen diskret: f_n = n v/(2L).
Worin unterscheidet sich der Knoten vom Schwingungsbauch?: Der Knoten steht still: einfallende und reflektierte Welle löschen einander. Im Schwingungsbauch ist die Auslenkung maximal — die Wellen addieren sich in Phase.
Wie ändert die Spannung die Tonhöhe?: Größeres T — größeres v = √(T/μ) und höheres f_n = n v/(2L). So stimmt man die Gitarre: straffer die Saite — höher der Ton.
Wie nah ist das an Gitarre oder Geige?: Die Harmonische Reihe f_n = n f_1 ist die Grundlage der Saiteninstrumente. Wirkliche Saiten haben Steifigkeit und Ungleichmäßigkeit, der Korpus gibt Dämpfung und eigene Resonanzen — daher das Timbre, das im Idealmodell fehlt.

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