Warum steht beim Stab in der Formel „näherungsweise“?

v ≈ √(E/ρ) gilt für den dünnen Stab, die Querkontraktionszahl (Poisson-Zahl) ist weggelassen. Im ausgedehnten Körper hängt die Geschwindigkeit vom Wellentyp ab; für lange Wellen im Stab ist die Näherung gut.

Wenn ich die Spannkraft verdopple, warum verdoppelt sich die Geschwindigkeit nicht?

v = √(T/μ): die Geschwindigkeit wächst mit der Wurzel. Verdopplung von T ergibt den Faktor √2 ≈ 1,41. Dieselbe Wurzelabhängigkeit haben E und ρ im Stab.

Beeinflusst die Dicke von Saite oder Stab die Geschwindigkeit?

Bei der Saite geht die Dicke nur über μ ein: dickere Saite aus demselben Stoff — größeres μ, kleineres v. Beim Stab steht in √(E/ρ) keine Fläche: die Geschwindigkeit setzen nur E und ρ, sofern die Wellen lang sind.

Wellengeschwindigkeit: Saite und Stab

v = √(T/μ) für die Querwelle auf der Saite und v ≈ √(E/ρ) für die Längswelle im Stab.

Saite (Querwelle)

102.5

m/s

Stab (Längswelle, Schema)

5064

m/s

Zum Modell

Die Wellengeschwindigkeit hängt vom Medium und von der Schwingungsart ab. Auf der gespannten Saite eine Querwelle: v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ die lineare Dichte ist. Im dünnen Stab eine Längswelle: v ≈ √(E/ρ), E Elastizitätsmodul, ρ Dichte; die Näherung gilt, wenn die Wellenlänge viel größer als die Dicke ist — Querkontraktion bleibt unberücksichtigt. Das Medium ist homogen und eindimensional; Dämpfung und Dispersion fehlen. Man vergleicht, wie T und μ die Geschwindigkeit auf der Saite ändern, E und ρ die im Stab.

Für wen: Oberstufe und Wellen im ersten Semester: Geschwindigkeit auf der Saite und im Stab.

Wichtige Begriffe

Wellengeschwindigkeit
Spannkraft
lineare Dichte
Elastizitätsmodul
Querwelle
Längswelle

So funktioniert es

Zwei elastische Modelle nebeneinander. Querwelle auf der Saite: v = √(T/μ) — Spannkraft gegen die Trägheit des Fadens. Längswelle im dünnen Stab: v ≈ √(E/ρ) — Steifigkeit gegen Dichte. Auf dem Bildschirm beide Geschwindigkeiten bei den aktuellen Parametern.

Wichtige Gleichungen

v_string = √(T / μ)

v_long ≈ √(E / ρ)

Häufige Fragen

Warum steht beim Stab in der Formel „näherungsweise“?: v ≈ √(E/ρ) gilt für den dünnen Stab, die Querkontraktionszahl (Poisson-Zahl) ist weggelassen. Im ausgedehnten Körper hängt die Geschwindigkeit vom Wellentyp ab; für lange Wellen im Stab ist die Näherung gut.
Wenn ich die Spannkraft verdopple, warum verdoppelt sich die Geschwindigkeit nicht?: v = √(T/μ): die Geschwindigkeit wächst mit der Wurzel. Verdopplung von T ergibt den Faktor √2 ≈ 1,41. Dieselbe Wurzelabhängigkeit haben E und ρ im Stab.
Beeinflusst die Dicke von Saite oder Stab die Geschwindigkeit?: Bei der Saite geht die Dicke nur über μ ein: dickere Saite aus demselben Stoff — größeres μ, kleineres v. Beim Stab steht in √(E/ρ) keine Fläche: die Geschwindigkeit setzen nur E und ρ, sofern die Wellen lang sind.

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