Warum setzt man Punkte nur bei sin θ₂ = 0 und ω₂ > 0?

So hält man dieselbe Schnittebene im vierdimensionalen Phasenraum fest. Die Bedingung ω₂ > 0 nimmt den Durchgang durch die untere Senkrechte in eine Richtung, ohne Doppelgänger vom Rückschwung. Die stetige Bewegung wird zur Nachfolgeabbildung.

Warum einmal Kurven, einmal eine gestreute Wolke?

Kurven und Inselketten — reguläre quasiperiodische Bewegung. Die Wolke (oft mit feiner fraktaler Struktur) — Chaos: die Bahn ist aperiodisch und exponentiell empfindlich gegen die Anfangsbedingungen, daher füllt sie ein Gebiet des Schnitts dicht.

Ist das eine Eigenschaft der Gleichungen oder ein numerisches Artefakt?

Der Poincaré-Schnitt ist das übliche Mittel für dynamische Systeme. RK4 gibt einen kleinen Schrittfehler, aber das qualitative Bild (Kurven gegen die chaotische Wolke) gehört den Gleichungen des Doppelpendels selbst.

Welche Vereinfachungen hat dieses Modell?

Masselose Stäbe, punktförmige Massen, keine Reibung in den Gelenken und kein Luftwiderstand. Das System ist konservativ. Beim wirklichen Pendel zieht die Dämpfung die Bahnen auf einen Attraktor — auf diesem Schnitt fehlt das.

Poincaré-Schnitt des Doppelpendels

Punkte (θ₁, ω₁), wenn der zweite Stab die untere Senkrechte bei ω₂ > 0 durchläuft. Integrator: Runge–Kutta-Verfahren 4. Ordnung.

Zum Modell

Der Poincaré-Schnitt des Doppelpendels: zwei Stäbe, reibungsfreie Gelenke, Gewichtskraft. Der Zustand ist (θ₁, θ₂, ω₁, ω₂). Der Schnitt behält die Punkte (θ₁, ω₁) in den Augenblicken, in denen sin θ₂ = 0 und ω₂ > 0 — das zweite Pendel geht durch den Tiefpunkt in eine Richtung. Der stetige Fluss im vierdimensionalen Phasenraum wird zur diskreten Abbildung. Quasiperiodische Bewegung gibt Kurven und Inselketten; Chaos — eine Punktwolke mit feiner Struktur. Die Gleichungen folgen aus der Lagrange-Funktion, der Schritt ist das Runge–Kutta-Verfahren 4. Ordnung. Die Stäbe sind masselos, die Massen punktförmig, Dämpfung fehlt: das System ist konservativ.

Für wen: Theoretische Mechanik im Bachelor: Phasenraum, nichtlineare Schwingungen, deterministisches Chaos.

Wichtige Begriffe

Poincaré-Schnitt
Doppelpendel
Phasenraum
deterministisches Chaos
quasiperiodische Bewegung
Lagrange-Funktion
Runge–Kutta-Verfahren

So funktioniert es

Die Gleichungen des Doppelpendels werden nach RK4 integriert. Auf die Ebene (θ₁, ω₁) kommt ein Punkt, wenn der zweite Winkel die untere Senkrechte von unten nach oben durchläuft (ω₂ > 0). Reguläre Bahnen legen sich auf Kurven; typische Anfangsbedingungen füllen eine Wolke — Schnitt des hamiltonschen Chaos. Reibung fehlt.

Häufige Fragen

Warum setzt man Punkte nur bei sin θ₂ = 0 und ω₂ > 0?: So hält man dieselbe Schnittebene im vierdimensionalen Phasenraum fest. Die Bedingung ω₂ > 0 nimmt den Durchgang durch die untere Senkrechte in eine Richtung, ohne Doppelgänger vom Rückschwung. Die stetige Bewegung wird zur Nachfolgeabbildung.
Warum einmal Kurven, einmal eine gestreute Wolke?: Kurven und Inselketten — reguläre quasiperiodische Bewegung. Die Wolke (oft mit feiner fraktaler Struktur) — Chaos: die Bahn ist aperiodisch und exponentiell empfindlich gegen die Anfangsbedingungen, daher füllt sie ein Gebiet des Schnitts dicht.
Ist das eine Eigenschaft der Gleichungen oder ein numerisches Artefakt?: Der Poincaré-Schnitt ist das übliche Mittel für dynamische Systeme. RK4 gibt einen kleinen Schrittfehler, aber das qualitative Bild (Kurven gegen die chaotische Wolke) gehört den Gleichungen des Doppelpendels selbst.
Welche Vereinfachungen hat dieses Modell?: Masselose Stäbe, punktförmige Massen, keine Reibung in den Gelenken und kein Luftwiderstand. Das System ist konservativ. Beim wirklichen Pendel zieht die Dämpfung die Bahnen auf einen Attraktor — auf diesem Schnitt fehlt das.

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