Warum sind die Obertöne einer Trommel keine Harmonischen?

Die Eigenfrequenzen einer kreisförmigen Membran sind durch die Nullstellen der Bessel-Funktionen J_m festgelegt. Ihre Verhältnisse sind nicht ganzzahlig — im Gegensatz zu den Harmonischen einer Saite mit festen Enden.

Wird die Steifigkeit einer Platte berücksichtigt?

Im Membranmodell nicht. Biegesteifigkeit fügt einen Term mit dem biharmonischen Operator hinzu und ändert das Spektrum: das ist dann eine Platte, keine Membran.

Was bedeutet ein fest eingespannter Rand?

Die Auslenkung u = 0 auf dem Rand — das Analogon zu festen Saitenenden. Von der Wahl des Randes hängen Eigenfrequenzen und das Bild der Knotenlinien ab.

Warum sind die Moden auf dem Rechteck Produkte von Sinusfunktionen?

Bei u = 0 auf den Rechteckseiten trennen sich die Variablen: X(x)Y(y), und jede Seite liefert einen Sinus mit ganzzahliger Anzahl von Halbwellen. Auf dem Kreis trennt man in Polarkoordinaten — daher Bessel.

2D wave equation (membrane)

Explizites Verfahren auf einem fest eingespannten Rechteck: Gauß-Impuls, kreisförmige Fronten, Reflexionen am Rand.

Zum Modell

Die Wellengleichung der Membran, u_tt = c²∇²u, beschreibt die Querschwingungen einer gespannten Membran. Auf einem fest eingespannten Rechteck (u = 0 auf dem Rand) zeigt ein explizites Verfahren das Auseinanderlaufen eines Gauß-Impulses, kreisförmige Fronten und Reflexionen an den Rändern. Die Eigenschwingungen sind stehende Wellen mit Knotenlinien: auf dem Rechteck Produkte von Sinusfunktionen, auf dem Kreis eine Radialstruktur, die mit den Nullstellen der Bessel-Funktionen zusammenhängt (Chladni-Figuren). Die Frequenzen hängen von Geometrie, Spannung und Flächendichte ab; die Obertöne einer Trommel sind — anders als bei der Saite — keine ganzzahligen Vielfachen des Grundtons. Vereinfachungen: keine Dämpfung, keine nichtlineare Spannung und keine akustische Last der Luft.

Für wen: Wellenphysik und partielle Differenzialgleichungen nach der Saite: Membranmoden, Chladni-Figuren.

Wichtige Begriffe

Wellengleichung
Membran
Eigenschwingungen
Knotenlinien
Chladni-Figuren
Bessel-Funktionen
Randbedingungen

So funktioniert es

Auf einer Membran mit festem Rand gilt u_tt = c²∇²u. Ein Gauß-Impuls liefert kreisförmige Fronten und Reflexionen; die Eigenschwingungen sind stehende Wellen mit Knotenlinien. Auf dem Rechteck kartesische Sinusprodukte, auf dem Kreis radiale Knoten der Bessel-Funktionen. Die Obertöne einer Trommel sind keine Vielfachen des Grundtons — anders als bei der Saite.

Häufige Fragen

Warum sind die Obertöne einer Trommel keine Harmonischen?: Die Eigenfrequenzen einer kreisförmigen Membran sind durch die Nullstellen der Bessel-Funktionen J_m festgelegt. Ihre Verhältnisse sind nicht ganzzahlig — im Gegensatz zu den Harmonischen einer Saite mit festen Enden.
Wird die Steifigkeit einer Platte berücksichtigt?: Im Membranmodell nicht. Biegesteifigkeit fügt einen Term mit dem biharmonischen Operator hinzu und ändert das Spektrum: das ist dann eine Platte, keine Membran.
Was bedeutet ein fest eingespannter Rand?: Die Auslenkung u = 0 auf dem Rand — das Analogon zu festen Saitenenden. Von der Wahl des Randes hängen Eigenfrequenzen und das Bild der Knotenlinien ab.
Warum sind die Moden auf dem Rechteck Produkte von Sinusfunktionen?: Bei u = 0 auf den Rechteckseiten trennen sich die Variablen: X(x)Y(y), und jede Seite liefert einen Sinus mit ganzzahliger Anzahl von Halbwellen. Auf dem Kreis trennt man in Polarkoordinaten — daher Bessel.

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