Was bedeuten die Zahlen m und n auf der Pauke?

m ist die Zahl der Knotendurchmesser (ruhende Geraden durch den Mittelpunkt). n ist die Zahl konzentrischer Knotenkreise innerhalb des festen Randes. Die Mode (2, 1) hat zwei Durchmesser und einen Ring.

Warum hier Besselfunktionen und nicht Sinusfunktionen?

Sinusfunktionen lösen die Aufgabe auf dem Rechteck oder auf der Saite. Beim Kreis muss der Radialteil auf der Kreislinie r = a null sein; diese Lösung ist J_m(kr).

Kann man diese Linien auf einer echten Pauke sehen?

Ja: Sand auf der Membran sammelt sich an den Knoten — dieselbe Idee wie bei den Chladni-Figuren. Die Klangfarbe der Pauke bestimmt gerade der Satz solcher Moden und ihr Abklingen.

Schwingungen einer Kreisplatte (Kymatik)

Eigenschwingungen der Kreismembran: J_m(k_{mn} r) cos(mθ); Knotendurchmesser m und Knotenringe n.

Zum Modell

Schwingungen einer Kreisplatte (Kymatik): eine kreisförmige Membran mit festem Rand — Pauke, Lautsprechermembran — trägt stehende Wellen in Polarkoordinaten. Die Mode (m, n) hat die Form J_m(k_{mn} r) cos(mθ), wobei J_m die Besselfunktion erster Art ist, m die Zahl der Knotendurchmesser und n die Zahl der Knotenkreise innerhalb des Randes. Die Wellenzahl k_{mn} folgt aus der Bedingung J_m(k_{mn} a) = 0 am Radius a; die Frequenz f_{mn} ist proportional zu k_{mn}. Auf dem Bildschirm die Höhe der Membran und die Knotenlinien. Die Spannung ist homogen; Biegesteifigkeit, Luftbelastung und Dämpfung bleiben unberücksichtigt.

Für wen: Wellen und Akustik im ersten Semester: Eigenschwingungen der Kreismembran, Besselfunktionen.

Wichtige Begriffe

Kreismembran
Besselfunktion
Normalschwingung
Knotenlinie
Eigenfrequenz
stehende Welle

So funktioniert es

Kreisförmige Membran mit festgehaltenem Rand: stehende Welle J_m(k r) cos(mθ), wobei kR aus den Nullstellen der Besselfunktion kommt. Die Zahl m setzt die Knotendurchmesser, n die Ringe. Auf dem Bildschirm eine Auslenkungskarte; das ist das Schema einer Mode, keine Berechnung der akustischen Belastung der Pauke.

Häufige Fragen

Was bedeuten die Zahlen m und n auf der Pauke?: m ist die Zahl der Knotendurchmesser (ruhende Geraden durch den Mittelpunkt). n ist die Zahl konzentrischer Knotenkreise innerhalb des festen Randes. Die Mode (2, 1) hat zwei Durchmesser und einen Ring.
Warum hier Besselfunktionen und nicht Sinusfunktionen?: Sinusfunktionen lösen die Aufgabe auf dem Rechteck oder auf der Saite. Beim Kreis muss der Radialteil auf der Kreislinie r = a null sein; diese Lösung ist J_m(kr).
Kann man diese Linien auf einer echten Pauke sehen?: Ja: Sand auf der Membran sammelt sich an den Knoten — dieselbe Idee wie bei den Chladni-Figuren. Die Klangfarbe der Pauke bestimmt gerade der Satz solcher Moden und ihr Abklingen.

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