Warum wächst die Frequenz mit der Modennummer?

Höhere Moden sind in der wirksamen Wellenlänge kürzer, und f ∝ 1/λ². Der Balken muss sich steiler biegen, die rücktreibende Kraft ist größer — die Schwingung wird schneller.

Worin unterscheidet sich ein echter Balken von diesem Modell?

Es gibt innere Dämpfung. Bei dicken Balken braucht man Schub und Drehträgheit (Timoshenko). Große Durchbiegungen bringen geometrische Nichtlinearität, die hier fehlt.

Wozu muss man die Biegemoden kennen?

Um Resonanz zu vermeiden: trifft die Frequenz der Last (Maschine, Wind, Schritte) die Eigenfrequenz, wächst die Amplitude. So legt man Balken, Brücken, Tragflächen und MEMS aus.

Warum liegt die Grundfrequenz des Kragträgers tiefer als die des beidseitig eingespannten Balkens?

Zwei Einspannungen machen die Biegesteifigkeit größer als beim Kragträger mit freiem Ende. Die Frequenz wächst wie √(Steifigkeit/Masse), daher liegt f₁ des eingespannten Balkens höher.

Modalanalyse eines Balkens

Die ersten drei Biegemoden: Eigenwerte λ aus den Randbedingungen; f ∝ (λ/L)²√(EI/μ). Gelenk, Kragträger, starre Einspannung.

Zum Modell

Die Modalanalyse eines Balkens nach Euler–Bernoulli beschreibt die freien Biegeschwingungen eines schlanken Stabes. Sie gehorchen der Gleichung EI ∂⁴w/∂x⁴ + μ ∂²w/∂t² = 0, wobei EI die Biegesteifigkeit und μ die Masse je Längeneinheit ist. Die Lösungen sind Normalschwingungen: jede Form w_n(x) schwingt mit ihrer Eigenfrequenz. Die Randbedingungen (gelenkig–gelenkig, Kragträger, eingespannt–eingespannt) legen die zulässigen λ_n fest; die Frequenz f_n ∝ (λ_n/L)² √(EI/μ). Für den gelenkigen Balken gilt λ_n = nπ, die Formen sind Sinus. Vereinfachungen der Theorie: lineare Elastizität, kleine Durchbiegungen, kein Schub und keine Drehträgheit (anders als beim Timoshenko-Balken), keine Dämpfung. Auf dem Bildschirm die unverformte Achse und die normierte Form der gewählten Mode; man ändert L, EI, μ und die Lagerung.

Für wen: Baudynamik und Schwingungen kontinuierlicher Systeme im Studium: Biegemoden des Balkens.

Wichtige Begriffe

Euler–Bernoulli-Balken
Normalschwingung
Randbedingungen
Eigenfrequenz
Biegesteifigkeit
Modalanalyse
Kragträger

So funktioniert es

Die Biegung des Euler–Bernoulli-Balkens gibt ein diskretes Spektrum: ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ), wobei λ_n aus den Randbedingungen kommt (beim Gelenk λ_n = nπ). Auf dem Bildschirm die ersten drei Formen — gelenkig, Kragträger oder doppelte Einspannung. Steifer oder leichter der Balken — höher die Eigenfrequenzen.

Wichtige Gleichungen

EI w′′′′ + μ ω² w = 0 → w(x) ∝ sin(nπx/L) für gelenkig–gelenkig; λ_n aus transzendenten Gleichungen für die anderen Enden.

ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ),   f_n = ω_n/(2π).

Häufige Fragen

Warum wächst die Frequenz mit der Modennummer?: Höhere Moden sind in der wirksamen Wellenlänge kürzer, und f ∝ 1/λ². Der Balken muss sich steiler biegen, die rücktreibende Kraft ist größer — die Schwingung wird schneller.
Worin unterscheidet sich ein echter Balken von diesem Modell?: Es gibt innere Dämpfung. Bei dicken Balken braucht man Schub und Drehträgheit (Timoshenko). Große Durchbiegungen bringen geometrische Nichtlinearität, die hier fehlt.
Wozu muss man die Biegemoden kennen?: Um Resonanz zu vermeiden: trifft die Frequenz der Last (Maschine, Wind, Schritte) die Eigenfrequenz, wächst die Amplitude. So legt man Balken, Brücken, Tragflächen und MEMS aus.
Warum liegt die Grundfrequenz des Kragträgers tiefer als die des beidseitig eingespannten Balkens?: Zwei Einspannungen machen die Biegesteifigkeit größer als beim Kragträger mit freiem Ende. Die Frequenz wächst wie √(Steifigkeit/Masse), daher liegt f₁ des eingespannten Balkens höher.

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