Por que a frequência cresce com o número do modo?

Os modos altos são mais curtos no comprimento de onda efetivo, e f ∝ 1/λ². A viga tem de fletir mais forte, a força restauradora é maior — as oscilações são mais rápidas.

Em que a viga real difere deste modelo?

Há amortecimento interno. Em vigas grossas entram o cisalhamento e a inércia de rotação (Timoshenko). Flechas grandes dão não linearidade geométrica, que aqui não existe.

Para que o engenheiro precisa dos modos de flexão?

Para não cair em ressonância: se a frequência da carga (máquina, vento, passos) coincide com a própria, a amplitude cresce. Assim se projetam vigas, pontes, asas e MEMS.

Por que a frequência fundamental da consola é menor que a da viga com dois engastes?

Dois engastes deixam a rigidez à flexão maior do que na consola com a ponta livre. A frequência cresce como √(rigidez/massa), por isso f₁ da viga biengastada é mais alta.

Análise modal de uma viga (Euler–Bernoulli)

Os três primeiros modos de flexão: autovalores λ das condições de contorno; f ∝ (λ/L)²√(EI/μ). Biapoiada, consola, biengastada.

Sobre o modelo

A análise modal de uma viga de Euler–Bernoulli trata das oscilações livres de flexão de uma viga delgada. Elas obedecem a EI ∂⁴w/∂x⁴ + μ ∂²w/∂t² = 0, em que EI é a rigidez à flexão e μ a massa por unidade de comprimento. As soluções são modos normais: cada forma w_n(x) oscila na sua frequência própria. As condições de contorno (biapoiada, consola, biengastada) fixam os λ_n permitidos; a frequência f_n ∝ (λ_n/L)² √(EI/μ). Na viga biapoiada, λ_n = nπ e as formas são senos. Simplificações da teoria: elasticidade linear, pequenas flechas, sem cisalhamento nem inércia de rotação (ao contrário de Timoshenko), sem amortecimento. Na tela, o eixo indeformado e a forma normalizada do modo escolhido; variam-se L, EI, μ e o tipo de apoio.

Para quem: Dinâmica das estruturas e oscilações de meios contínuos na graduação: modos de flexão de uma viga.

Conceitos-chave

viga de Euler–Bernoulli
modo normal
condições de contorno
frequência própria
rigidez à flexão
análise modal
consola

Como funciona

A flexão da viga de Euler–Bernoulli dá um espectro discreto: ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ), em que λ_n sai das condições de contorno (na biapoiada, λ_n = nπ). Na tela, as três primeiras formas — biapoiada, consola ou biengastada. Viga mais rígida ou mais leve — frequências próprias mais altas.

Fórmulas principais

EI w′′′′ + μ ω² w = 0 → w(x) ∝ sin(nπx/L) para biapoiada; λ_n de equações transcendentes para as outras pontas.

ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ),   f_n = ω_n/(2π).

Perguntas frequentes

Por que a frequência cresce com o número do modo?: Os modos altos são mais curtos no comprimento de onda efetivo, e f ∝ 1/λ². A viga tem de fletir mais forte, a força restauradora é maior — as oscilações são mais rápidas.
Em que a viga real difere deste modelo?: Há amortecimento interno. Em vigas grossas entram o cisalhamento e a inércia de rotação (Timoshenko). Flechas grandes dão não linearidade geométrica, que aqui não existe.
Para que o engenheiro precisa dos modos de flexão?: Para não cair em ressonância: se a frequência da carga (máquina, vento, passos) coincide com a própria, a amplitude cresce. Assim se projetam vigas, pontes, asas e MEMS.
Por que a frequência fundamental da consola é menor que a da viga com dois engastes?: Dois engastes deixam a rigidez à flexão maior do que na consola com a ponta livre. A frequência cresce como √(rigidez/massa), por isso f₁ da viga biengastada é mais alta.

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